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Bennydendemann (Bennydendemann)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Bennydendemann
Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Januar, 2005 - 14:41: | 
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Hallo,
könnt ihr bitte die folgenden zwei Aufgaben überprüfen und ggf. korrigieren? Danke!
Überprüfe auf Monotonie.
a) n+1/2n
(n+2)/(2n+1)-(n+1)/(2n)
[(2n)*(n+2)-(2n+1)*(n+1)]/[(2n+1)*(2n)]
[2n²+4n-2n²+2n+n+1]/[(2n+1)*(2n)]
(n+1)/[(2n+1)*(2n)] > 0, ist monoton zunehmend
b)(n-2)/(2n-1)
(n-1)/(2n) - (n-2)/(2n-1)
[(2n-1)*(n-1)-(2n)*(n-2)]/[(2n)*(2n-1)]
[2n²-2n-n+1-2n²-4n]/[(2n)*(2n-1)]
(n+1)/[(2n)*(2n-1)] > 0, ist monoton zunehmend
5. Gib zwei monton zunehmende, zwei monoton abnehmende, zwei nicht monotone Folgen an.
Zunehmend: (n)/(n+1) ; (2n)/(2n+1)
Abnehmend: 1/n ; 1/2n
Nicht Monoton: (-1/2)^n ; (-1/2)^2n
Bitte überprüfen und ggf. korrigieren.
Vielen Dank! |
Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 453
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Januar, 2005 - 21:07: |
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a)
a(n+1)-a(n)>0 --> monotun zunehmend
a(n)=(n+1)/(2n) -- ist doch sicherlich so gemeint?
a(n+1)=(n+1+1)/(2(n+1))=(n+2)/(2n+2)
(n+2)/(2n+2)-(n+1)/(2n)
(2n*(n+2)-((2n+2)*(n+1)))/((2n+2)*2n)
(2n²+4n-2n²-4n-2)/((2n+2)*2n)
-2/((2n+2)*2n) <0 monoton abnehmend
Probe durch 1. Ableitung (falls du das schon kennst):
(n+1/2n)'=2n-2n-2/4n²=-1/2n² <0 monoton abnehmend
b)
scheint zu stimmen.
Test:
((n-2)/(2n-1))'=2n-1-2n+4/(2n-1)²=3/(2n-1)² für alle n>1/2 monoton zunehmen
mfG
Tux
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Bennydendemann (Bennydendemann)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Bennydendemann
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2005 - 14:27: |
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vielen dank erstmal..dann hab ich bei der ersten aufgabe ja nur einen winzigen fehler gleich am anfang gehabt, wodurch logischerweise die komplette aufgabe falsch war *g*.
zu 2: die ist richtig? das ist ja schön.
Ich hätte jedoch noch ne Frage. Bei 2 steht ja im Nenner n+1, ist dies überhaupt möglich? Kann dort noch n überbleiben, oder darf dort oben nur eine Zahl stehen? Ich bitte diese Frage noch zu beantworten.
MfG
Benny |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1049
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2005 - 23:11: |
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Bei b) stimmt zwar dein Ergebnis, aber die Herleitung ist auch hier falsch.
a(n+1) = ((n+1)-2)/(2(n+1)-1) = (n-1)/(2n+1)
a(n) = (n-2)/(2n-1)
a(n+1)-a(n) = (n-1)/(2n+1) - (n-2)/(2n-1)
= [(n-1)(2n-1) - (n-2)(2n+1)] / (2n+1)(2n-1)
= [(2n²-n-2n+1)-(2n²-4n+n-2)] / (4n²-1)
= 3/(4n²-1) > 0
-> monoton wachsend
Oder kürzer:
a(n)= (n-2)/(2n-1) = (1/2) * 2(n-2)/(2n-1) = (1/2)*(2n-4)/(2n-1) = (1/2)*(1 - 3/(2n-1)) = (1/2) - 3/(4n-2)
-> monoton wachsend gegen (1/2)
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Bennydendemann (Bennydendemann)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Bennydendemann
Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Januar, 2005 - 16:06: |
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vielen dank...das ganze lag auch hier nur an einem kleinen fehler direkt am anfang der aufgabe. |
