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Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 379 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. August, 2004 - 18:43: |
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Hi @ll, hab mal wieder eine Aufgabe, bei der mir der richtige Ansatz fehlt: Bestimme alle Ebenen, die mit der Ebene E:3x+4y=0 die Punkte A(0|0|0) und B(4|0|-3) gemeinsam haben und E unter einem Winkel von 60° schneiden! Es muss doch ein Gleichungssystem aufgestellt werden, aber ich finde nicht ausreichend Gleichungen... Danke schonmal mfG Tux
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4326 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. August, 2004 - 07:22: |
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Hi Tux Zuerst korrigieren wir die Angaben für die Koordinaten des Punktes B in Deiner Aufgabenstellung; B liegt nach Deiner Version nicht in der Ebene E. Ich schlage vor, dass wir es neu mit B(4/-3/0) versuchen wollen. Einverstanden ? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4327 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. August, 2004 - 07:51: |
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Hi Tux Skizze einer Lösung Deiner Aufgabe mit den abgeänderten Daten für B: neu gelte B(4/-3/0) ! Dann ist a = {4;-3;0} der Verbindungsvektor der Punkte A und B. Der Vektor m = {3;4;0} ist ein Normalenvektor der Ebene E. n = {u;v;1) sei ein (normierter) Normalenvektor der gesuchten Ebene F. Der Vektor n steht auf dem Vektor a senkrecht; somit gilt: 4 u - 3 v = 0 Da die Ebenen E und F den Winkel 60° bilden, tun dies auch ihre Normalenvektoren n und m. Somit gilt nach einer bekannten Formel: (m . n) / [abs m * abs n] = cos 60° Im Zähler links steht das Skalarprodukt der Vektoren m und n, im Nenner das Produkt ihrer Beträge. Somit lautet die Gleichung konkret: (3*u + 4* v ) / [5 * sqrt(u^2+v^2+1] = ½ Das Gleichungssystem in u und v lässt sich leicht auflösen! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4328 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. August, 2004 - 09:37: |
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Hi Tux Es folgen noch in paar Angaben zur Auflösung des Systems für die Berechnung der Vektorkoordinaten u und v: Wir setzen v = 4/3 * u in die Wurzelgleichung ein und quadrieren diese. Es entsteht schließlich die Gleichung 75 u^2 = 9;daraus u1 = sqrt(3)/5 u2 = - sqrt(3)/5, somit v1 = 4*sqrt(3)/15 v2 = - 4*sqrt(3)/15 Damit lassen sich zwei Ebenegleichungen F1, F2 herstellen_ F1: 3*sqrt(3) x + 4 sqrt(3) y +15 = 0 F2: 3*sqrt(3) x + 4 sqrt(3) y - 15 = 0 Dabei wurde von der Tatsache Gebrauch gemacht, dass die gesuchten Ebenen durch A, also durch den Nullpunkt, gehen müssen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4329 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. August, 2004 - 10:07: |
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Hi Tux Es geht auch andersherum! Die folgende Lösung benützt den Begriff des Ebenenbüschels und ist für Spezialisten auf diesem Gebiet bestimmt. Die gegebene Ebene E und die gesuchte Ebene F sind Elemente eines Ebenenbüschels mit der Achse g = AB. Dieses Ebenenbüschel besteht aus allen Ebenen, die durch die Gerade g gehen. Das Büschel ist bestimmt durch E und die (x,y)-Ebene , in welcher die Gerade g liegt. E hat die Gleichung 3 x + 4 y = 0 , die Gleichung der (x,y)-Ebene lautet z = 0 Daraus entsteht die Büschelgleichung 3 x + 4 y + t * z = 0 mit der reellen Zahl t als Parameter. Für einen beliebigen Wert von t erhalten wir mit der letzten Gleichung eine Ebene Ft, die durch g geht. Nun ist t so zu bestimmen, dass der Winkel der Ebenen E und Ft 60° beträgt. Wir richten es so, dass die beiden Ebenennormalen {3;4;0} und {3;4;t} 60° beträgt. Das gibt die Gleichung (9+16) / [5*sqrt(9+16+t^2)] = ½ mit den Lösungen t1= 5 * sqrt(3) und t2= - 5 * sqrt(3) Dies gibt dieselben Ebenengleichungen wie zuvor. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 380 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 30. August, 2004 - 05:30: |
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Hi megamath, danke für die Vielzahl an Lösungen - hab sogar ich verstanden ;)
mfG Tux
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