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Ebenen gesucht

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klasse 11 » Vektorgeometrie » Ebenen gesucht « Zurück Vor »

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Tux87 (Tux87)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87

Nummer des Beitrags: 379
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. August, 2004 - 18:43:   Beitrag drucken

Hi @ll,

hab mal wieder eine Aufgabe, bei der mir der richtige Ansatz fehlt:
Bestimme alle Ebenen, die mit der Ebene E:3x+4y=0 die Punkte A(0|0|0) und B(4|0|-3) gemeinsam haben und E unter einem Winkel von 60° schneiden!

Es muss doch ein Gleichungssystem aufgestellt werden, aber ich finde nicht ausreichend Gleichungen...

Danke schonmal
mfG
Tux
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4326
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 27. August, 2004 - 07:22:   Beitrag drucken

Hi Tux

Zuerst korrigieren wir die Angaben für die Koordinaten des Punktes B in Deiner
Aufgabenstellung; B liegt nach Deiner Version nicht in der Ebene E.
Ich schlage vor, dass wir es neu mit B(4/-3/0) versuchen wollen.
Einverstanden ?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4327
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 27. August, 2004 - 07:51:   Beitrag drucken

Hi Tux

Skizze einer Lösung Deiner Aufgabe mit den abgeänderten
Daten für B:

neu gelte B(4/-3/0) !
Dann ist a = {4;-3;0} der Verbindungsvektor der Punkte A und B.

Der Vektor m = {3;4;0} ist ein Normalenvektor der Ebene E.

n = {u;v;1) sei ein (normierter) Normalenvektor der gesuchten
Ebene F.

Der Vektor n steht auf dem Vektor a senkrecht; somit gilt:
4 u - 3 v = 0

Da die Ebenen E und F den Winkel 60° bilden, tun dies auch ihre
Normalenvektoren n und m.

Somit gilt nach einer bekannten Formel:

(m . n) / [abs m * abs n] = cos 60°

Im Zähler links steht das Skalarprodukt der Vektoren m und n,
im Nenner das Produkt ihrer Beträge.

Somit lautet die Gleichung konkret:
(3*u + 4* v ) / [5 * sqrt(u^2+v^2+1] = ½

Das Gleichungssystem in u und v lässt sich leicht auflösen!

Mit freundlichen Grüßen

H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4328
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 27. August, 2004 - 09:37:   Beitrag drucken

Hi Tux

Es folgen noch in paar Angaben zur Auflösung des Systems
für die Berechnung der Vektorkoordinaten u und v:
Wir setzen v = 4/3 * u in die Wurzelgleichung ein
und quadrieren diese.
Es entsteht schließlich die Gleichung
75 u^2 = 9;daraus
u1 = sqrt(3)/5
u2 = - sqrt(3)/5,
somit
v1 = 4*sqrt(3)/15
v2 = - 4*sqrt(3)/15

Damit lassen sich zwei Ebenegleichungen F1, F2 herstellen_

F1: 3*sqrt(3) x + 4 sqrt(3) y +15 = 0
F2: 3*sqrt(3) x + 4 sqrt(3) y - 15 = 0

Dabei wurde von der Tatsache Gebrauch gemacht, dass die
gesuchten Ebenen durch A, also durch den Nullpunkt, gehen
müssen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4329
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 27. August, 2004 - 10:07:   Beitrag drucken

Hi Tux

Es geht auch andersherum!

Die folgende Lösung benützt den Begriff des Ebenenbüschels
und ist für Spezialisten auf diesem Gebiet bestimmt.

Die gegebene Ebene E und die gesuchte Ebene F sind Elemente
eines Ebenenbüschels mit der Achse g = AB.

Dieses Ebenenbüschel besteht aus allen Ebenen, die durch
die Gerade g gehen.

Das Büschel ist bestimmt durch E und die (x,y)-Ebene , in welcher
die Gerade g liegt.
E hat die Gleichung 3 x + 4 y = 0 ,
die Gleichung der (x,y)-Ebene lautet z = 0

Daraus entsteht die Büschelgleichung
3 x + 4 y + t * z = 0 mit der reellen Zahl t als Parameter.

Für einen beliebigen Wert von t erhalten wir mit der
letzten Gleichung eine Ebene Ft, die durch g geht.

Nun ist t so zu bestimmen, dass der Winkel der Ebenen
E und Ft 60° beträgt.


Wir richten es so, dass die beiden Ebenennormalen
{3;4;0} und {3;4;t} 60° beträgt.
Das gibt die Gleichung
(9+16) / [5*sqrt(9+16+t^2)] = ½
mit den Lösungen
t1= 5 * sqrt(3) und
t2= - 5 * sqrt(3)

Dies gibt dieselben Ebenengleichungen wie zuvor.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Tux87 (Tux87)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87

Nummer des Beitrags: 380
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Montag, den 30. August, 2004 - 05:30:   Beitrag drucken

Hi megamath,

danke für die Vielzahl an Lösungen - hab sogar ich verstanden ;)


mfG
Tux

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