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Boris1337 (Boris1337)
Neues Mitglied
Benutzername: Boris1337
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juni, 2004 - 15:48: | 
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Extremwertaufgabe---> HILFE
DIe Grundflächew eines Wasserbeckens hat skizzierte Form eines Rechtecks mit angesetztem Halbkreis. Die Höhe des Beckkens beträgt 2m. Das Volumen des Beckens umfasst 8m³.
Berechnen sie die Rechteckseite a un den radius r so, das der Umfang der 2m hohen Betonmauer minimal wird
Kann mir einer die lösen??? |
Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 229
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juni, 2004 - 16:48: |
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Wenn die Beckentiefe 2m ist und das Volumen 8m³, dann muss die Grundfläche den Inhalt 4m² haben. Die Zielfunktion, die du minimieren musst ist die Funktion, die den Umfang des Beckens beschreibt. Wenn der Halbkreis über der längeren Rechtecksseite a ist (davon gehe ich jetzt aus), dann hat der den Radius a/2. Der Umfang des Beckens ist also dann a+2b+(a/2)*p. Um b zu eliminieren stelle ich eine Beziehung zwischen a und b über den Inhalt der Grundfläche her: der ist nämlich ab+1/2(a/2)²p=4. Diese Gleichung lösen wir nach b auf und setzen den Term in den Umfangsterm ein. Der entstehende Term ist jetzt nur noch von a abhängig, also eine Funktion U(a), von der du das Minimum suchst (also ableiten, Ableitung gleich 0 setzen etc.)
Klar? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2289
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juni, 2004 - 16:54: |
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Fläche A = Volumen/Höhe = a*2*r + r²pi/2
Umfang U= 2*a + 2*r + r*pi
aus A = a*2*r + r²pi/2 ==> a = (A - r²pi/2)/(2*r)
damit
wird U zu U(r) = (A - r²pi/2)/r + r*(2+pi)
zur
Bestimmumg des Extremuns U'(r)=0 lösen
[(-2r*pi/2)*r - (A - r²pi/2)]/r² + 2+pi = 0
(-r²pi -A + r²pi/2)/r² + 2+pi = 0
-A -r²pi/2 +(2+pi)r² = 0
r²(2+pi/2) = A
r = Wurzel( A /(2+pi/2) )
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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