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Omchen (Omchen)
Mitglied
Benutzername: Omchen
Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 15:13: | 
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Hallo,
könnt ihr mir bitte bei folgenden Aufgaben helfen?
1. Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=4/x²
a) Wie lautet die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P (2|1)?
b) Die Tangente t aus a) schneidet den Graphen von f in einem weiteren Punkt Q. Ermitteln sie die Koordinaten von Q.
2. Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2/(x²+1)
a) Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt B (-1|1)?
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Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 350
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 16:26: |
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1.)
a)
f(x)=4/x²
f'(x)=-8/x³ --> das ist der Anstieg
ft(x)=(-8/a³)x+n --> Punkt P(2|1) einsetzen (a=x=2 -- und bleibt auch immer 2)
1=(-8/8)*2+n
n=3
ft(x)=-x+3
mfG
ICH
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2285
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 16:28: |
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Die Steigung einer Tangente ist gleich der Ableitung der Funktion
des Graphen im Berührungspunkt,
daher ist die allgemeine Gleichung einer Tangente t(p,x),
im Punkt (p | f(p) ) in
"Punkt-Richtungsform" t(p,x) = f(p) + (x-p)f'(p)
1a)
f'(x) = -8/x³, f'(2) = -1
t(2,x) = 1 + (x-2)*(-1) = 3-x
1b)
Schnittpunkte von f(x) mit 3-x
4/x² = 3-x, 4 = 3x²-x³
x³-3x²+4 = 0, bekannt ist bereits
als
Berührungspunkt, die 0stelle x=2,
daher Polynomdivision durch (x-2)
(x³-3x²+4) : (x-2) = x²-x-2
-x³+2x²
Rest -x²+4
.......+x²-2x
.....Rest -2x+4
...........+2x-4
.........Rest 0
es ist also x³-3x²+4 = (x-2)(x²-x-2) = 0
und
nun noch x²-x-2 = 0 zu lösen
x = (1/2) ±Wurzel(1/4 + 2)
x = (1 ± 3)/2, somit einzige neue Lösung
und damit Schnittpunkt (-1 | 4)
2)
Kannst Du aber nun selbst
f' = -4x/(x²+1)²
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 351
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 16:39: |
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1.)
b)
ft(x)=-x+3
f(x)=4/x²
-x+3=4/x²
-x³+3x²=4
x1=2 -- aus dem Punkt p
(-x³+3x²-4)/(x-2)=-x²+x+2
x²-x-2=0
x2/3=1/2±W(9/4)
x2=2
x3=-1
y=4/-1²=4
Q(-1|4)
mfG
ICH
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Omchen (Omchen)
Mitglied
Benutzername: Omchen
Nummer des Beitrags: 43
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juni, 2004 - 14:04: |
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Danke euch beiden!
(Beitrag nachträglich am 19., Juni. 2004 von omchen editiert) |
