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Beitrag |
    
Mcmathe (Mcmathe)
Junior Mitglied
Benutzername: Mcmathe
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. März, 2004 - 19:58: | 
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HALLO,
Ich brauche Hilfe bei diesen Aufgaben:
a)
Ein Rechteck mit dem Umfang 20 cm soll so gestaltet werden, dass die Diagonale möglichst klein wird.
b)
Gesucht ist ein Rechteck mit der Diagonalen 15 cm, das den größten Flächeninhalt hat.
Über Ansätze freue ich mich.
Gruß
Mcmathe
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Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 811
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. März, 2004 - 20:34: |
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a) Diagonale : z(a,b):=a²+b² (Wurzel kann weggelassen werden, da die Diagonale stets positiv ist)
Nebenbedingung: 2(a+b)=20 cm => a=10-b
Einsetzen: Z(b)=(10-b)²+b² = 100-20b+2b²
Ableiten: Z'(b)=-20+4b
Folglich liegt das lokale Extrem bei b=5 und somit auch a=5.
Randextrema brauchen nicht geprüft zu werden, da Z(b) eine Parabel darstellt.
b) Zielfunktion: A(a,b)=ab
Nebenbedingung: a²+b²=15² => b=Ö(15²-a²)
Der weitere Verlauf ist analog: Einsetzen in A(a,b), nach a ableiten, Nullsetzen und ggf. Randwerte ausrechnen.
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Mcmathe (Mcmathe)
Junior Mitglied
Benutzername: Mcmathe
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. März, 2004 - 21:31: |
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ok aber ich verstehe nicht, wie man
A (a)= a*(sqrt15^2-a^2)
zusammenfassen und ableiten soll.
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Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 813
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. März, 2004 - 00:08: |
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Hab ich was von zusammenfassen geschrieben? ;)
Das musst du nach der Produktregel ableiten, oder du betrachtest auch hier die Quadrate, da die Längen und somit auch die Fläche ebenfalls nur positiv sein können.
Also statt A(a) nimmst Du A*(a)=(ab)².
Der Trick mit dem Quadrieren erleichtert oft die Rechnung. Man darf ihn aber nicht ganz sorglos anwenden, wie das Beispiel f(x)=x zeigt. f besitzt kein Extrem, wohl aber g(x)=x². Und es gibt noch ein weiteres Problem: Die Art des Extrems kann sich ändern. Beispiel: f(x)=x²-4 besitzt bei x=0 ein Minimum, g(x)=(x²-4)² ein Maximum. |
Mcmathe (Mcmathe)
Junior Mitglied
Benutzername: Mcmathe
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. März, 2004 - 12:42: |
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ok danke. Jetzt weiss ich es auch.
gruß mcmathe |
