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Witting (Witting)
Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. März, 2004 - 19:06: | 
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Hallo!
Wie berechne ich die Monotonie und die obere bzw. untere Schranke der Folgen:
1. a = Anzahl der positiven Teiler von n
2. a= sqrt(n+1) - sqrt n
3. a = (3/4)^n
Vielen Dank im Voraus,
Katharina Witting
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2064
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. März, 2004 - 20:43: |
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1)nicht monoton,
Beispiel:
12: Teiler 2,3,4,6;
13: keine echten Teiler
14: Teiler 2,7
untere Schranke 0, obere unendlich
2)
monoton fallend, obere schranke 1, untere 0:
ich
kürze sqrt mit w ab:
a(n) = w(n+1)-w(n)
a(n+1)-a(n) = [w(n+2)-w(n+1)] - [w(n+1)-w(n)]
a(n+1)-a(n) = w(n+2) - 2*w(n+1) + w(n)
nun zu zeigen
w(n+2) - 2*w(n+1) + w(n) < 0
w(n+2) + w(n) < 2*w(n+1); quadrieren
2n + 2 + 2*w(n²+2n) < 4n+4
2*w(n²+2n) < 2n+2, w(n²+2n) < n+1
n²+2n < n²+2n+1 stimmt, also monoton fallend.
Der
limn->oo(w(n+1)-w(n))
=
limn->oow(n)[(w(1+1/n)-1)]="oo*0"
=
limn->oo[(w(1+1/n)-1)] / [1/w(n)]= "0/0"
=
was mit einmaliger L'Hospitalanwendung zu 0 wird.
3)Monoton fallen, obere Schranke 1, untere 0
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 799
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. März, 2004 - 13:59: |
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Friedrich hat es ja schon richtig beantwortet. Trotzdem noch zwei Anmerkungen von mir:
1) DIE obere Schranke gibt es in einem nach oben unbeschränktem Raum nicht.
2) Die erste Folge hat keine obere Schranke. Unendlich ist nämlich keine konkrete Zahl.
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