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Blackflower86 (Blackflower86)
Neues Mitglied
Benutzername: Blackflower86
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Februar, 2004 - 19:50: | 
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Funktion....f(x)=(x²+2x-4)/(x-2)
Man berechne die Koordinaten der punktsymmetrisch zum Schnittpunkt S der beiden Asymptoten liegenden Kurvenpunkte P und P´, für welche Entfernung PP´ ein Extrema annimmt und weise dessen Art nach. Wie groß ist die Entfernung? |
Mira13 (Mira13)
Mitglied
Benutzername: Mira13
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 10:46: |
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Mich würde die Lösung der Aufgabe auch sehr interessieren! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3561
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 11:03: |
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Hi Mira
Ich befürchte,die findet niemand,hihi!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Mira13 (Mira13)
Mitglied
Benutzername: Mira13
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 11:20: |
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und warum nicht???
Gibt es keine Lösung?
Und wenn doch - dann müßtest Du sie doch finden!?
Gruß
mira
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3562
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 11:25: |
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Hi Mira
Ich habe eine Lösung seit heute 00:00 Uhr
Meine Methode gefällt mir aber nicht!
Ich warte,bis Kolleginnen oder Kollegen
mit einer besseren kommen.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Mira13 (Mira13)
Mitglied
Benutzername: Mira13
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 11:30: |
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Also warten wir auf bessere Zeiten!
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3563
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 11:35: |
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Hi Mira,
Wenn jemand Korrekturn lesen möchte,sende ich meine Lösung jetzt,samt ev. Rechenfehlern.
MfG,auf bessere Zeiten!
H.R.Moser,megamaht |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3564
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 11:45: |
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Hi Josefine
Die Aufgabe ist sehr anspruchsvoll, besonders auch für die
angegeben Klassenstufe.
Welche notwendigen Vorkenntnisse stehen Dir zur Verfügung?
Ich löse die Aufgabe entsprechend ihrer Struktur in
vier Schritten.
Erster Schritt.
°°°°°°°°°°°°
Ermittlung des Schnittpunktes S der beiden Asymptoten,
einer zur y-Achse parallele Asymptote a1 und einer schiefen
Asymptote a2.
a1 : wegen der Polstelle x = 2 lautet die Gleichung von a1 ebenso:
x=2
a2 gewinnen wir durch Ausdividieren oder am einfachsten so:
es ist
f(x)=(x²+2x-4)/(x-2) = (x²-2x + 4x-4)/(x-2) = x+4(x-1) / (x-2);
dies ist, wie man erkennt, für große Absolutwerte von x
annähernd (asymptotisch) gleich y = x + 4,
und das ist auch schon die Gleichung der gesuchten schiefen
Asymptote a2.
Beachte dabei, dass der Bruch (x-1) / (x-2) gegen eins strebt
für x gegen +- unendlich.
Der Schnittpunkt S der Asymptoten ist S(2/6).
Zweiter Schritt
°°°°°°°°°°°°°°
Berechnung der Koordinaten zweier zu S symmetrischer
Kurvenpunkte.
Vorbemerkung
Bei der Kurve handelt es sich, wie leicht zu beweisen ist,
um eine gedrehte Hyperbel H mit S als Mittelpunk und den
Asymptoten a1, a2.
Eine Hyperbel ist bezüglich ihres Mittelpunktes S
punktsymmetrisch!
Liegt somit der Punkt Po(xo/yo) auf H, so tut dies auch
der zu Po bezüglich S´(2/6) symmetrische Punkt P´(x´/y´)
von selbst.
Die gesuchten Koordinatenbeziehungen lauten demnach:
x´= 4 – xo
y´= 12 – yo
yo entnehmen wir der Kurvengleichung:
yo = xo+4(xo-1)/(xo-2)
Nach diesen Angaben kann der Abstand der Punkte PP´= PoP´
als Funktion von xo dargestellt und deren Extremum
ermittelt werden.
Wir wählen aus rechentechnischen Gründen einen andern Weg.
(Schritte 3 und 4) .
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3565
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 12:19: |
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Hi Josefine, hi Mira*
Hier die Fortsetzung der gewichtigen Aufgabe
Dritter Schritt
°°°°°°°°°°°°°°
Parallelverschiebung des Koordinatensystem (x,y)
Neuer Nullpunkt eines (X,Y) – Koordinatensystems in S
Die alten Koordinaten x,y eine Punktes P lassen sich durch
seine neuen Koordinaten X,Y so ausdrücken,
wie man anhand einer Skizze leicht einsieht:
x = X + 2, y = Y + 6.
Dies setzen wir in die Kurvengleichung
y = x + 4 (x-1)/(x-2) ein; wir erhalten in den neuen
Koordinaten die Gleichung
Y + 6 = X + 2 + 4 (X+1) / X, vereinfacht:
Y = X + 4 / X
Jetzt erkennt man wunderbar die zentrale Symmetrie
(Punktsymmetrie) der Kurve bezüglich des neuen Nullpunktes,
d.h. bezüglich des Punktes S.
Vierter Schritt
°°°°°°°°°°°°°°°
Ermittlung des Extremums der Strecke PP´
Da aus Symmetriegründen PP´= 2 SP gilt, genügt es,
das Extremum von SP zu ermitteln.
Wir arbeiten im neuen System(X,Y)
Für die Punkte S und P gilt:
S: X= 0, Y= 0; P hat die Koordinaten X,Y.
Wir berechnen das Quadrat q des Abstandes OP,
also
q = OP^2 = X^2 + Y^2 = X^2 + (X + 4 / X) ^ 2 =
somit
q = q(X) = 2 X^2 + 8 + 16 / X^2
Wir leiten q(X) nach X ab:
q´(X) = 4 X – 32 / X^3
q´ ist null für X = 8^(¼)
Es liegt ein Minimum vor, da die zweite Ableitung von q,
nämlich q´´ = 4 + 96 / X^4 jedenfalls positiv ist.
Es ist nun nicht mehr schwierig, das Minimum der gesuchten
Strecke zu ermitteln.
Wir berechnen qmin = q* durch Einsetzen
des Wertes X = 8^(¼)
in die Gleichung q(x) = 2 X^2 + 8 + 16 / X^2;
nach leichter Rechnung erhalten wir:
q* = 8 + 4 wurzel (8) = 8 (1 + wurzel (2))
Jetzt berechnen wir wurzel (q*) ;
dies ist die Hälfte der gesuchten minimalen Strecke PP´
Ergebnis:
wurzel (q*) = wurzel(8) * wurzel [1+wurzel(2)] ~ 4,39.
Minimum der Strecke PP´ ~ 8,79.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 16:50: |
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Hallo megamath,
außer ein paar winziger Tippfehler konnte ich beim "Korrekturlesen" nichts finden!
Die Lösung leuchtet ein - und Du meinst, dass es eine bessere gibt?
Herzliche Grüße
elsa |
Blackflower86 (Blackflower86)
Neues Mitglied
Benutzername: Blackflower86
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 16:56: |
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das mit dem schnittpunkt hat ich auch so ähnlich wie ihr ....oder du ....S(2,606/6,606)........aber irgendwie wußt ich überhaupt nicht weiter ........ich bin LK mathe ...und der lehrer ist total bescheuert .......aber zum glück will er es nicht wirklich bewerten ....ich danke euch aber ......jetzt weiß ich wie es geht wenn es in der Klausur dran kommt .....thx say JOJO |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3569
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 18:26: |
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Hi elsa
Durch tätige Meditation mit entsprechendem Brimborium
habe ich die dem Problem angepasste Lösung
gefunden. Sie ist jedoch nicht Jedermanns Sache,
insbesondere eignet sie sich nicht für Schüler der gymnasialen Stufe.
Ich habe die Grundidee in der Aufgabe LF 230 untergebracht;
bitte nicht weitersagen!
Ferdi wird sich dem Problem annehmen, wenn er vom Karneval
genug haben wird.
Mit herzlichen Grüssen
Hans Rudolf Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3570
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 18:45: |
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Hi Josefine,
Wenn ich Dein Lehrer wäre, würde ich mich bemühen,
nicht bescheuert zu sein!
Ich würde aber darauf insistieren, dass Du die
Gleichungen der beiden Asymptoten herleiten kannst
und dass Du insbesondere auch die Koordinaten ihres
Schnittpunktes S exakt berechnen kannst;
die GENAUEN Werte sind x = 2 , y = 6.
nichts anderes !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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