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Siggo121 (Siggo121)
Junior Mitglied
Benutzername: Siggo121
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 17:49: | 
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Hallo!
Bräuchte eure Hilfe. Verstehe nichts.
1.) Erzeugt die Aussageform "x hat das entgegengesetzte Vorzeichen von y" eine Relation in der Menge Z? Beschreiben Sie den Graphen der Relation.
2.) Auf |N* x |N* sei eine Relation R gegeben durch (a, b) R (c, d) « a x d= b x c
a) Beweisen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
b) Welche Elemente liegen in der Klasse (3,4)?
3.a) Sind die Relationen R = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,2)} in der Menge A = {1,2,3,4,5} und
K = {(x,y) | x2 + y2 = 25 und x ELEMENT AUS [0,5], y ELEMENT aus [-5,5]}
b) Zeichnen Sie geeignete Diagramme und bestätigen Sie Ihre Antworten (WIE???)
5.) Zeichnen sie die Graphen zu (WIE???)
a) f : x ® x + 3; x ELEMENT AUS |R und
g : x ® x2 - 9 BRUCHSTRICH x - 3;
x ELEMENT AUS |R \ {3}
b) Sind f und g gleich?
c) Geben Sie eine geeignete Einschränkung oder Fortsetzung von f oder g an, so dass f = g wird.
6.) Stellen Sie fest, ob die Funktion f : |R ® Wf mit y = x + |x| - 2 surjektiv, injektiv und bijektiv ist.
7.) Ist die Funktion f : x ® WURZEL AUS
3x + 1; x ELEMENT AUS |R+ umkehrbar?
Vielen Dank im voraus für eure Hilfe!!!!
Gruß Siggo |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 534
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 17:52: |
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Hi Siggo:
quote:1.) Erzeugt die Aussageform "x hat das entgegengesetzte Vorzeichen von y" eine Relation in der Menge Z? Beschreiben Sie den Graphen der Relation.
Ja, es ist eine Relation (was auch sonst?) Es ist sogar eine Funktion in Z\{0} (evtl. sogar in Z, wenn 0 und 0 auch "entgegengesetzte Vorzeichen haben sollten". Funktionsgleichung: f(x)=-x.
quote:2.) Auf |N* x |N* sei eine Relation R gegeben durch (a, b) R (c, d) « a x d= b x c
a) Beweisen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
b) Welche Elemente liegen in der Klasse (3,4)?
a)
1. Reflexion: (a,b) R (a,b), denn
a * b = b * a
2. Symmetrie: (a,b) R (c,d) <=> (c,d) R (a,b), denn
(a,b) R (c,d) <=> a * d = b * c
(c,d) R (a,b) <=> c * b = d * a (Wegen der Gültigkeit des K-Gesetzes in N* sind die beiden Ergebnisse gleich.)
3. Transitivität: (a,b) R (c,d) Ù (c,d) R (e,f) => (a,b) R (e,f)
a*d = b*c Ù c*f = d * e
Aus der letzten Aussage folgt c = (d*e)/f.
Einsetzen in die erste Aussage:
a*d = b*(d*e)/f
Dividieren durch d
a = (b*e)/f
a*f = b*e
b)(3,4) R (x,y) <=> 3y=4x <=> y=(4/3)x
Zu (3,4) gehören also z.B. (6,8), (9,12) usw.
Kurz: {(x,y)|x=3n, y=4n, n>0}
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 535
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 18:11: |
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3) verstehe ich leider vom Text her nicht. Da 4) auch fehlt: Kann es nicht sein, dass du die beiden Aufgaben vermengt hast?
quote:5.) Zeichnen sie die Graphen zu (WIE???)
a) f : x -> x + 3; x ELEMENT AUS |R und
g : x -> x² - 9 BRUCHSTRICH x - 3;
x ELEMENT AUS R\{3}
a) Ja, wie denn? Wertetabelle und dann zeichnen. f liefert eine Gerade, g liefert beinahe auch eine Gerade, allerdings ist f an der Stelle x=3 nicht definiert (punktierte Gerade).
quote:b) Sind f und g gleich?
c) Geben Sie eine geeignete Einschränkung oder Fortsetzung von f oder g an, so dass f = g wird.
b) Damit ist auch schon klar, dass f und g nicht gleich sind. x²-9/x-3 = x+3, allerdings nur für x ¹ 3. An dieser Stelle ist f nämlich definiert und g nicht.
c) Definiere g so um:
g(x)=x²-9/x-3 für x¹3, 6 für x=3.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 536
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 18:21: |
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quote:6.) Stellen Sie fest, ob die Funktion f : |R -> Wf mit y = x + |x| - 2 surjektiv, injektiv und bijektiv ist.
surjektiv:
Wenn die Bildmenge die Wertemenge ist, ist die Funktion natürlich surjektiv. Nehmen wir also mal an, dass ihr die Begriffe sauber unterscheidet. Wf ist dann also z.B. R, während die Bildmenge genau die Bilder von f umfasst.
Nun gilt
f(x)=x+x-2=2x-2, wenn x³0 ist, und
f(x)=x-x-2=-2, wenn x<0 ist.
Der kleinstmögliche Wert der Funktion ist also -2. Demzufolge wird z.B. -3 nicht erreicht. f ist also nicht surjektiv.
injektiv:
f(0) = -2, f(-1) = -2
f ist also nicht injektiv.
bijektiv:
f ist weder injektiv noch surjektiv, also gewiss nicht bijektiv.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 537
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 18:25: |
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quote:7.) Ist die Funktion f : x -> WURZEL AUS
3x + 1; x ELEMENT AUS |R+ umkehrbar?
y = Ö(3x+1)
y² = 3x+1
y²-1 = 3x
(y²-1)/3 = x
Variablentausch:
(x²-1)/3 = y
Das ist die Umkehrgleichung. Der strenge Beweis, dass f umkehrbar ist, folgt sofort aus der strengen Monotonie von Ö(3x+1) über ihrem gesamten Definitionsbereich (Beweis zur Not über die Ableitung von f)
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Siggo121 (Siggo121)
Junior Mitglied
Benutzername: Siggo121
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 10:20: |
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Hi Jair_Ohmsford!!
Erstmal vielen vielen Dank für deine Hilfe!
Wie du vermutet hast, habe ich Aufgabe 3 und 4 irgendwie nicht richtig eingetippt bzw. vergessen. Hier nochmal richtig:
3.)
Zeichnen Sie das Hessediagramm für die Ordnungsrelation, welche die Aussageform "x|y" auf der Menge T90 der Teiler von 90 erzeugt.
4.a)
Sind die Relationen R = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,2)} in der Menge A = {1,2,3,4,5} und
K = {(x,y) | x2 + y2 = 25 und x ELEMENT AUS [0,5], y ELEMENT aus [-5,5]} Funktionen? Sind die Umkehrrelationen R* und K* Funktionen?
b) Zeichnen Sie geeignete Diagramme und bestätigen Sie Ihre Antworten
Danke im voraus nochmal! Echt nett!!
Gruß Siggo |
Siggo121 (Siggo121)
Junior Mitglied
Benutzername: Siggo121
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 10:42: |
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Hallo nochmal!
Bei der AUfgabe 1 verlangt er ne Beschreibung des Graphen. ABer weiß gar nicht mehr wie man so nen Graphen beschreibt!:-(
Grüßle Siggo |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 546
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 22:06: |
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Naja, es ist die Winkelhalbierende der Achsen im 2. und 4. Quadranten. Zeichne dir den Graphen mal auf. Die Gleichung ist - wie gesagt - f(x)=-x.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 547
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 22:15: |
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Zu Nr.3:
Ich bin nicht ganz sicher, aber ich denke, beim Hesse-Diagramm für die Teiler-Relation zeichnet man für jeden Primteiler einen Pfeil in die Richtung einer Dimension, hier also einen Pfeil für 2 in x-Richtung, einen Pfeil für 3 in y-Richtung und einen Pfeil für 5 in z-Richtung.
90 = 2*3²*5. Deshalb wird noch ein zweiter Pfeil in y-Richtung an den ersten angehängt. Das Ganze wird zu einem Körper (einem Quader) vervollständigt und veranschaulicht die Menge der Teiler von 90.
Soeben fällt mir ein, dass dieses Diagramm "Hasse-Diagramm" heißt. Ist es nicht trotzdem das, was du zeichnen sollst?
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 548
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 22:25: |
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Zu 4)
quote:Sind die Relationen R = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,2)
in der Menge A = {1,2,3,4,5} und
K = {(x,y) | x² + y² = 25 und x ELEMENT AUS [0,5], y ELEMENT aus [-5,5]} Funktionen?}
R - ja, denn zu jedem x-Wert gibt es genau einen y-Wert.
K - nein, denn zu x=0 z.B. gibt es die y-Werte 5 und -5.
quote:Sind die Umkehrrelationen R* und K* Funktionen?
R* - nein, denn zu y=2 gibt es zwei verschiedene x-Werte (1 und 5).
K* - ja, denn x²=25-y² lässt sich für x Î [0,5] und alle y Î [-5,5] eindeutig lösen.
Für die graphische Darstellung würde ich bei R ein Pfeildiagramm benutzen, bei K einen normalen Graphen (es ist ein Halbkreis mit Mittelpunkt 0 und Radius 5 im 1. und 4. Quadranten, also "rechts von der y-Achse").
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Siggo121 (Siggo121)
Junior Mitglied
Benutzername: Siggo121
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 12:55: |
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Hi!
Vielen dank für deine Hilfe Jair!
Vielen vielen Dank!
Gruß Siggo |
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