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Timot (Timot)
Neues Mitglied
Benutzername: Timot
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Januar, 2004 - 18:47: | 
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hi,
ich habe ein Problem, weil ich irgendiwe nicht mehr durchblick.
Gegeben sind die Punkte A(3|1) und B (-9|-3)
Die Aufgabe besteht aus 4 teilen.
1. Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises dessen Durchmesser die Strecke AB ist.
Da hab ich jetzt erstmal ausgerechent wie lang die Strecke ist. Zwischen meinen ganzen Zetteln ist der weg jetzt aber futsch.
Naja, also
AB = 2*Wurzel(40)
r=Wurzel(40)
Der Mittelpunkt nach Xm=1/2(3-9) und Y=1/2(1-3)
ist der M (-3|-1)
Also Die Gleichung für den kreis:
K: (x+3)²+(y+1)²=40
2ter Teil und hier fangen die Probleme an: Zeigen Sie, dass alle Punkte deren Entfernung von B dreimal so groß ist wie die von A, auf einem gemeinsamen Kreis liegen.
Da hab ich mir überlegt 2 Kreise anzulegen.
Einmal:
k1: Mittelp.:A(3|1)
-----.Radius:1/4*2*Wurzel(40) (1/4 AB)
also: k1: (x-3)²+(y-1)²=10
für die Gerade AB gilt: y=1/3x
der 2te Kreis:
Mittelp.: B(-9-3)
Radius: 3*Wurzel(40)
K2: (x+9)²+(y+3)²=360
Laut mir, sind das die einzigen beiden Punkte, die von A eindrittel mal den Abstand haben wie von B.
Dannhabe ich die Schnittpunkte der beiden Kreise mit AB berechnet. indem ich y=1/3x, also die Gleichung von AB in die Kreisgleichungen eingesezt habe.
Insgesamt hat jeder Kreis 2 Schnittpunkte mit der Geraden, nur einer von ihnen jeweils erfüllt die Anforderungen im Bezug auf die Entfernung zu A und B.
Das sind P1 (0|0) (Schnittpunkt vom Kreis um 1 und AB)
und P2 (9|3) (S-Punkt vom Kreis um B und ABB)
Das sind also meine beiden Punkte, von denen ich jetzt noch beiweisen soll, dass sie auf einem gemeinsamen Kreis liegen.
M(4,5|1,5) und r= 1/2 *Wurzel(90)
also gemeinsamer kreis: (x-4,5)²+(y-1,5)²=90/4
Aber jetzt soll ich die Schnittpunkte beider Kresie berechnen als nächstes.
Irgendwie zweifle ich jetzt daran ob mein bisheriger Lösungsweg richtig ist.
Wie geht das denn wirklich?
Naja, und dann habe ich noch eine Frage. Wie berechne ich denn die Schnittpunkte von 2 Kreisen?
Ich habe versucht zwei kreisgleichungen gleichzusetzen. und auch wie bei einer geraden die eine kreisgleichung in die andere einzusetzen. Aber das klappt nicht!
Ich freue mich wenn mir jemand helfen kann!
mfg timot
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Aktuar (Aktuar)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 08:50: |
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Hallo Timot,
deine beiden Kreisgleichungen sind korrekt. Die zweite Kreisgleichung hätte man auch direkt aus der Entfernunsvoraussetzung ableiten können:
Wurzel[(x+9)^2+(y+3)^2] = 3 * Wurzel[(x-3)^2+(y-1)^2].
Dies zusammengefasst ergibt genau die zweite Kreisgleichung (x-4,5)^2+(y-1,5)^2 = 22,5.
Nun zur Bestimmung der Schnittpunkte beider Kreise. Du hast ja zwei Kreisgleichungen für die beiden Unbekannten x,y. Folgende Methode funktioniert allgemein:
Multipliziere beide Kreisgleichungen aus und fasse die Konstanten zusammen:
x^2+6x+y^2+2y = 30 und
x^2-9x+y^2-3y = 0.
Nun subtrahiere die beiden erhaltenen Gleichungen voneinander. Es fallen die quadratischen Terme weg:
15x+5y = 30, d.h. y = -3x+6.
Jetzt setze diesen Ausdruck für y in eine der beiden Kreisgleichungen ein:
x^2-9x+(-3x+6)^2-3(-3x+6) = 0.
Diese quadratische Gleichung in x kannst du z.B. mit der p,q-Formel lösen. Du erhältst dann:
x1=3 und x2=0,6, also y1=-3 und y2=4,2. Die beiden Schnittpunkte der Kreise sind also S1(3;-3) und S2(0,6;4,2).
Eine Probe bestätigt dies.
Gruß
Michael |
Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 138
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 11:25: |
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Hallo Timo,
Der Teil 1 ist ok.
Teil 2 mache ich folgendermaßen:
Ich wähle einen allgemeinen Punkt P(x/y). Dann ist der Vektor PA = (3-x/1-y), seine Länge ist demnach sqrt((3-x)²+(1-y)²).
Der Vektor PB = (-9-x)/(-3-y), seine Länge ist sqrt((-9-x)²+(-3-y)²).
Nun soll ja gelten Länge von PB = 3*Länge von PA, also:
sqrt((-9-x)²+(-3-y)²) = 3*sqrt((3-x)²+(1-y)²)
Gleichung quadrieren, ausmultiplizieren, zusammenfassen, durch 8 dividieren, ergibt
x²-9x+y²-3y = 0.
Das bauen wir um in eine Kreisgleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:
(x-9/2)²-81/4 + (y-3/2)² - 9/4 = 0
Konstanten zusammengefasst ergibt die Kreisgleichung (x-9/2)²+(y-3/2)² = 45/2.
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