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Witting (Witting)
Junior Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Dezember, 2003 - 15:15: | 
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Hallo!
Koennt ihr mir den Rechenweg bei folgender Aufgabe erklaeren?
Die Zahl 100 soll so in zwei positive Summanden x und y zerlegt werden, dass die Summe der Quadrate dieser Summanden moeglichst klein wird.
Wie muesste ich die Gleichung aufstellen?
Vielen Dank im Voraus,
Katharina Witting |
Brainchild (Brainchild)
Neues Mitglied
Benutzername: Brainchild
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Dezember, 2003 - 16:03: |
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Hallo
Es ergeben sich zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:
a.) x+y=100
b.) x^2+y^2=minimal
aus a.) folgt: y=100-x
Das in b.) eingesetzt ergibt:
x^2+(100-x)^2=minimal
<=> 2*x^2 - 200x + 10000 = minimal
Das läßt sich nun einfach lösen, denn:
Auf der linken Seite steht eine quadratische Gleichung, die nur ein Minimum (bzw. Maximum) besitzt, nämlich den Scheitelpunkt.
Den Scheitelpunkt mußt du jetzt aber selber ausrechnen ;)
Zum Überprüfen deiner Rechnung: Lösung x=y=50
Frohe Weihnachten
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Brainchild (Brainchild)
Junior Mitglied
Benutzername: Brainchild
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Dezember, 2003 - 16:06: |
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Noch vergessen zu erwähnen:
die gefundene Lösung ist ein Minimum und kein Maximum, da die Parabel (2*x^2-...) nach oben geöffnet ist. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 843
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Dezember, 2003 - 22:21: |
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@Brainchild
Dein Lösungsweg zum Extremum (nicht der Ansatz, der ist schon OK) ist eher unkonventionell, denn nicht immer liegt eine einfache Parabel vor!
Ausserdem ist ohnehin nach einem Minimum gefragt, die Summe der Quadrate soll doch möglichst KLEIN werden!
Wie wär's denn nun mit Nullsetzen der 1. Ableitung und Prüfung mittels der 2. Ableitung?
Also:
f(x) = 2x² - 200x + 1000
f'(x) = 4x - 200
f''(x) = 4 > 0, es liegt nur ein Minimum vor
f'(x) = 0 -> 4x = 200 ->
x = 50, y = 50
Die beiden Summanden sind 50 und 50, die Summe deren Quadrate ist 5000, diese ist tatsächlich minimal, wie man mit anderen Summanden testen kann;
schon 51² + 49² = 5002 und damit größer.
Gr
mYthos
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Brainchild (Brainchild)
Junior Mitglied
Benutzername: Brainchild
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Dezember, 2003 - 11:09: |
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Hallo Mythos2002,
dein Ansatz ist allgemeinere und auch vollkommen korrekt.
Ich bin mir aber nicht mehr sicher, ob in der 11. Klasse schon notwendige und hinreichende Kriterien für das Vorliegen eines Extremums durchgenommen wurden [ist zu lange her ;) ].
Aus diesem Grunde habe ich diesen Weg gewählt.
Gruß
Frohe Weihnachten. |
Witting (Witting)
Junior Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Dezember, 2003 - 14:20: |
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Danke Ihr beiden!
Ich bin zwar in der 11. Klasse, aber ich habe kann diese Aufgabe auch mittels der 1. und 2.Ableitung errechnen, bzw. ich bevorzuge diese Methode. Natuerlich muss ich diese Aufgabe wie in dem ersten Loesungsweg rechnen.
Vielen Dank und frohe Weihnachten,
Katharina Witting |
