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Klausrudolf (Klausrudolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Klausrudolf
Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Dezember, 2003 - 17:41: | 
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Hallo miteinander,
wer hat eine Idee zur (Nicht?)lösbasrkeit der folgenden Aufgabe :
Der neunte Teil des Flächeninhalts jedes beliebigen Dreiecks, das durch eine beliebige Gerade, die durch den Schwerpunkt dieses Dreiecks geht, in zwei Flächeninhalte geteilt wird, ist stets größer oder gleich groß wie die Differenz der Flächeninhalte der beiden durch die Gerade zerlegten Flächen des Dreiecks. |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 948
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 13:09: |
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Hi!
Ich hätte da folgende Idee:
Wir können das Dreieck so lange drehen und verschieben, ggf. auch spiegeln, bis eine Ecke im Nullpunkt liegt und die Gerade die dazugehörigen Schenkel schneidet.
Wir nennen diese eine Ecke A, die restlichen gegen den Uhrzeigersinn B und C.
Seien a, b, b die Ortsvektoren von A, B, C und s der Ortsvektor des Schwerpunkts.
Dann gilt:
s = 1/3*(a+b+c) = 1/3*(b+c)
Nun liegt der eine Schnittpunkt P der Geraden mit dem Dreieck auf der Seite AC, der andere (Q) auf der Seite AB.
Es gelte:
p = tc und
q = ub.
Da q von p insofern abhängig ist, als Q auf der Geraden durch P und S liegen muss, gilt außerdem:
q = p + v(s-p) = tc + v(1/3*(b+c) - tc)
Also:
ub = tc + v(1/3*(b+c) - tc)
Durch Umformungen und die lineare Unabhängigkeit von b und c erhalten wir:
u = t/(3t-1) und
v = t/(t-1/3)
Nun können wir den Flächeninhalt A1 zwischen der Ecke A und der Geraden ausrechnen, indem wir p und q als Spalten einer Matrix auffassen:
A1 = 1/2 * det(p q)
= 1/2 * det(tc ub)
= 1/2*tu*det(c b)
= t²/(3t-1) * A (A = Gesamtfläche des Dreiecks)
Nun können wir noch A2 durch A-A1 audrücken, so dass wir erhalten:
A1 / A ³ 4/9 (da A1 wohl die kleinere Teilfläche ist)
Diese Behauptung können wir zeigen, wenn wir zeigen, dass 4/9 das Minimum in Abhängigkeit von t ist. Also Ableitungen bilden etc.
Dabei müssen wir beachten, dass P zwischen A und C liegen muss, dass also 0 £ t † 1 ist. Eigentlich sogar noch enger, aber das wird schnell klar...
Jetzt muss ich weg. Hoffe, die Hinweise helfen...
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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