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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3146
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 21:56: | 
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Hi allerseits,
Aus nostalgischen Gründen kommt wieder einmal eine
Dreiecksaufgabe, die Nr 67.
Daran ist das Ergebnis einigermassen bemerkenswert.
Die Aufgabe gehört denn auch in das entsprechende Dossier.
Sie lautet:
Im gleichschenkligen Dreieck ABC mit gegebener
Basis AB = c und dem stumpfen Winkel gamma
an der Spitze seine U,V,W die Höhenfusspunkte
auf den Seiten BC, CA und AB.
Für welchen Winkel gamma sind die Dreiecke
ABC und UVW flächengleich?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Nosmile (Nosmile)
Junior Mitglied
Benutzername: Nosmile
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 16:15: |
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mmh bei einen stumpfen winkel sind die Höhenfusspunkte nicht mehr im Dreieck. Oder spielt das keine Rolle? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3151
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 16:25: |
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Hi Nosmile
Das macht nichts !
MfG
H.R.Moser |
Nosmile (Nosmile)
Junior Mitglied
Benutzername: Nosmile
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 18:13: |
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Das heist man kann die Seiten BC und CA verlängern und darauf die höhenfusspunkte festlegen?
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Nosmile (Nosmile)
Junior Mitglied
Benutzername: Nosmile
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 18:24: |
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und nochwas hat die Strecke AB irgendein Maß? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3154
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 21:09: |
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Hi Nosmile,
Deine Fragen sind berechtigt !
Die Fusspunkte U und V liegen auf den Verlängerungen der Seiten BC und AC.
Uebringens blden die Punkte ABVU ein
gleichschenkliges Trapez.
Eine gute Skizze kann sehr Hilfreich sein !
Führe die Seitenlänge AB = c ein.
Drücke andere seiten und Höhen duch c und den Winkel gamma oder 1/2 gamma aus.
In der Schlussbeziehung hebt sich c aus der
Rechnung heraus
Du kannst die Aufgabe rein trigonometrisch
lösen oder die Strahlensätze samt Trigo zu Hilfe nehmen.
Gesucht wird der numerische Wert für cos(gamma)
oder für sin(gamma)...........
Die Aufgabe ist ziemlich schwierig!
Gleichwohl:Viel Erfolg !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3157
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 09:44: |
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Hi allerseits,
Um die Attraktivität dieser schönen Aufgabe zu erhöhen,
gebe ich das Resultat bekannt (am Schluss dieser Ausführungen).
Zuerst sollen eine Skizze erstellt und
einheitliche Bezeichnungen gewählt werden.
AB ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks, Länge c
Mittelpunkt W: AW =WB = ½ c
C ist die Spitze des Gleichschenkligen Dreiecks
Innenwinkel Gamma bei C > 90°
Winkel phi = ½ Gamma
Basishöhe h = CW = h.
Schenkellängen CA = CB = a.
Auf der Verlängerung der Seite BC liegt der Fusspunkt U
der von A aus gelegten Höhe.
Auf der Verlängerung der Seite AC liegt der Fusspunkt V
der von B aus gelegten Höhe.
Das Viereck ABVU ist ein gleichschenkliges Trapez.
Z sei der Mittelpunkt der Parallelseite UV
ZU = ZV = ½ g.
Höhe H des Trapezes: H = WZ
Mit CZ = p gilt:
H = h + p
Sei ferner
u = CV, dann gilt AV = a + u.
Zum Schluss:
Winkel delta = Winkel BCV (Scheitel in C).
Es gilt delta = 180° - gamma < 90°
Pro memoria:
Flächenbedingung:
Die Inhalte der Dreiecksflächen
ABC und UVW stimmen überein.
Resultat
°°°°°°°°
C teilt die Strecke AV nach dem goldenen Schnitt;
grösserer Abschnitt (Major) AC.
C teilt die Strecke WZ nach dem goldenen Schnitt;
grösserer Abschnitt (Major) WC.
cos(gamma) = ½ (1 – sqrt(5)) ; gamma ~ 128,17°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1822
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 10:40: |
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auf HR's Wunsch
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3159
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 10:51: |
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Hi Friedrich
wunderbar !
Herzlichen Dank
mfG
HRM |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3160
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 14:12: |
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Hi allerseits
Ich beschreibe einen Lösungsweg; dabei halte ich mich strikte an die
in meiner letzten Arbeit eingeführten Bezeichnungen
Ausserdem wähle ich c = 2.
Das geht oBdA aus Gründen der Ähnlichkeit!
a = 1 / sin (phi) , Dreieck AWC
h = 1 / tan (phi) , Dreieck AWC
u = a cos (delta), Dreieck BVC, daraus
u = - a cos (gamma) = -1 / sin(phi) * cos (2phi)
p = u cos(phi) , Dreieck CZV, somit
p = -1 / tan(phi) * cos(2phi)
H= h + p = 1/ tan(phi) * {1 – cos(2 phi}
q = u sin (phi) , Dreieck CZV, damit
q = - cos(2 phi)
g = 2 q = - 2 cos(2 phi).
Flächenbedingung
½ g H = ½ c h oder
½ g H = h
Eingesetzt:
- cos (2 phi) {1 – cos (2 phi ) } / tan(phi) = 1 / tan(phi)
vereinfacht
[cos (gamma)] ^ 2 – cos (gamma) = 1.
Lösung für cos(gamma) < 0 :
cos(gamma) = ½ (1 – sqrt(5))
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Es gibt noch andere Lösungsmethoden; wer findet solche?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3167
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 13:04: |
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Hi allerseits
Ein Studium einer zweiten Lösung der Dreiecksaufgabe
könnte nützlich sein.
Es folgt daher die Darstellung einer weiteren Methode
zur Lösung
Im Dreieck BCV entnehmen wir die trig.Beziehung
u / a = cos (delta) = = - cos (gamma).
Mit dem Strahlensatz, Zentrum in A, erhalten wir:
H/h = (a + u) / a = 1 + u / a , somit
H = h [1 - cos(gamma)]
Mit dem Strahlensatz, Zentrum in C, erhalten wir:
g / c = u / a = somit
g = - c cos (gamma)
Für die Fläche A* des Dreiecks UVW kommt
(ch wie Schweiz !)
A* = ½ gH = ½ ch [(cos(gamma))^2 – cos(gamma)]
Für die Fläche A° des Dreiecks ABC kommt
(ch wie Schweiz !)
A° = ½ ch = ½ ch
Bedingung
A* = A°
Daraus entspringt die Gleichung
[cos (gamma)] ^ 2 – cos (gamma) = 1.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
wie bei der ersten Methode.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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