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Stradivari (Stradivari)
Neues Mitglied
Benutzername: Stradivari
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. November, 2003 - 19:39: | 
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Ich soll folgende Aufgabe lösen, und weiß aber nicht so recht wie ichs angehen soll.
Zeigen sie mithilfe vollständiger Induktion, dass die durch ao=1, an+1= Wurzel(3an -1) n>=1 rekursiv def. Folge monoton wachsend und beschränkt ist, und bestimmen sie gegebenfalls den Grenzwert lim n->00 an.
Diese Folge wächst ja ins unendliche, wieso soll sie also beschränkt sein bzw. einen Grenzwert haben.
Bitte um Hilfe und idiotensichere Erklärung. |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 205
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. November, 2003 - 20:19: |
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Hallo Stradivari,
ins Unendliche wächst deine Folge ganz bestimmt nicht, denn es gilt ja
Ist an<3, so ist an+1<Ö(3*3-1) < 3.
Da z.B. a1 tatsächlich kleiner ist als 3, können die Folgenglieder die 3 also nicht überschreiten.
Sehen wir uns doch mal die Monotonie an:
zu zeigen ist an<an+1
Das führt auf die Ungleichung
an < Ö(3an-1)
an² < 3an-1
Diese Ungleichung ist sicherlich nicht allgemeingültig, aber sie ist erfüllt für
an < (3/2) - Ö(5/4) < an < (3/2) + Ö(5/4)
Die linke Grenze ist wegen a1=1 nicht wichtig.
Was aber wäre, wenn die an nicht über die rechte Grenze wachsen könnten? Probieren wir's aus:
an < (3/2) + Ö(5/4)
an+1 < Ö(3*((3/2)+Ö(5/4))-1)
an+1 < Ö((7/2)+3Ö(5/4))
Nun rechne mal ((3/2) + Ö(5/4))² aus. Das ist genau Ö((7/2)+3Ö(5/4)).
Also ist
an+1 < (3/2) + Ö(5/4)
Damit ist die Folge monoton steigend und beschränkt. Die kleinste obere Schranke ist (3/2) + Ö(5/4), dieser Term bildet also den Grenzwert. (Die Behauptung mit der kleinsten oberen Schranke habe ich noch nicht ausdrücklich gezeigt, aber du willst ja auch noch etwas tun...  )
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Stradivari (Stradivari)
Neues Mitglied
Benutzername: Stradivari
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. November, 2003 - 12:40: |
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Danke vielmals, hast mir sehr geholfen.
mfg, Stradivari |
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