    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3004
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 09:37: | 
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Hi allerseits
Eine weitere Dreiecksaufgabe soll zur Vorbereitung auf die
Aufgabe LF 98 dienen.
Die Dreiecksaufgabe 65 lautet:
Ein Ankreis des Dreiecks ABC berührt die Gerade AB im Punkt F
und die Gerade BC in G.
Der Abstand des Punktes F vom Mittelpunkt O der Seite AB
sei mit e bezeichnet.
Beweise: Die Summe der Strecken CA und CB ist 2e.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3016
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. November, 2003 - 16:21: |
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Hi allerseits
Ich bin erstaunt, dass diese kleine Aufgabe
nicht gelöst wurde!
Sie dient, wie ich bereits erwähnte,
als Vorbereitung auf die merklich gewichtigere
Aufgabe LF 98, die bald erscheinen wird.
Jetzt erscheint meine Lösung der Dreiecksaufgabe 65:
Sei CA = r1, CB = r2
Wir wollen zeigen:
r1 + r2 = 2 e
Der Ankreis berühre die Seite AB in F, BC in G, CA in H.
Mit O als Mittelpunkt der Seite AB,
OF = e , CG = CH = f und OB = OA = d gilt:
AF = AH, daraus e + d = r 1 + f oder
r1 = d + e - f
BF = BG daraus e - d = r 2 - f
r2 = e – d + f
Daraus folgt sofort
r1 + r2 = 2 e , also:
Die Summe CA + CB ist gleich 2 e , d.h.:
C liegt auf der Ellipse mit A, B als Brennpunkte;
F ist ein Scheitel der Ellipse.
MfG
H.R.Moser,megamath |
