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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3003
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 09:34: | 
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Hi allerseits
Es erscheint nach längerer Pause wieder eine Dreiecksaufgabe.
Sie dient als Vorbereitung auf die Aufgabe LF 97.
Die Dreiecksaufgabe 64 lautet:
Der Inkreis des Dreiecks ABC berührt die Seite AB im Punkt F;
der Abstand dieses Punktes vom Mittelpunkt O der Seite AB
sei mit e bezeichnet.
Beweise: Der Betrag der Abstandsdifferenz (CA – CB) ist 2e.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 933
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 14:04: |
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Hi megamath,
also mir ist ein Beweis für rechtwinklige Dreiecke gelungen, für gleichschenklige und gleichseitige kommt man ja durch überlegung drauf, das es stimmt! Nur für ein allgemeines Dreieck konnte ich es nicht beweisen! Kannst du mal einen Tipp geben?
rechtwinklig:
Umfang = a+b+c = u, Seite CB = sqrt(c^2+b^2)
A(0|0), B(a|0), C(0|b)
dann gilt für den Inkreis:
(x - [(bc)/u])^2 + (y - [(bc)/u])^2 = (bc/u)^2
Der Kreis berühert die Strecke AB in
F ( (bc/u) | 0 )
Mittelpunkt der Strecke ist c/2, also ist der Abstand:
e = |(bc - ac - c^2)/2*(a+b+c)|
Der Differenz von a und b soll also gleich 2e sein!
|a-b| = |(bc - ac - c^2)/(a+b+c)|
Löst man die Beträge auf und formt um, so erhält man: c^2 + b^2 = a^2 ! q.e.d.
Bei Gleichseitig und gleichschenklig ist die Differenz jeweils 0 und der Inkreis berührt dort die Seite AB in deren Mitte also e=0! q.e.d.
Fehlt nur das noch allgemeine Dreieck!
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3011
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 14:44: |
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Hi Ferdi
Du suchst zu weit.
Betrachte die Längen der Tangentenstrecken,
die von den Ecken A und B aus an den
Inkreis gehen; dabei spielen die Summe
d + e und und die Differenz d – e
eine Rolle; d = ½ AB.
Viel Erfolg
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 934
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 19:31: |
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Hi megamath,
leider bringt mich dein Tipp nicht weiter. Mir fehlen einfach mal wieder die Geometrie Grundkenntnisse.
Leider habe ich auch keine Zeit sie nachzuholen wie früher, denn jetzt gehts zur Kompanieübung nach Sondthofen und ich bin als Kraftfahrer vom Dienst eingeteilt, bin also ein parr Tage wieder nicht anwesend...
Man sieht sich
mfg |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 307
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. November, 2003 - 10:49: |
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Hi Megamath,hi Ferdi,
Da |CA-CB|=konstant=2e,
haben wir es mit der geometrischen Definition der Hyperbel zu tun.Ich frage mich noch,wie
man den Inkreis ins Spiel bringt.Wenn der Beweis gelingt,daß die x-Koordinate des
Inkreismittelpunktes gleich e (hier große Halbachse(?)) ist,wäre der gesamte Beweis aus meiner Sicht gelungen.
Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3013
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. November, 2003 - 11:48: |
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Hi Olaf, Hi Ferdi
Ich begrüsse es sehr, dass diese kleine Aufgabe
auf ein so grosses Interesse stösst, denn sie dient,
wie ich bereits erwähnte,
als Vorbereitung auf die merklich gewichtigere
Aufgabe LF 97, die bald erscheinen wird.
Jetzt erscheint meine Lösung der Dreiecksaufgabe 64:
Der Inkreis berühre die Seite AB in F, BC in G, CA in H.
Mit O als Mittelpunkt der Seite AB,
OF = e , CG = CH = f und OB = OA = d gilt:
AF = AH = d + e
BF = BG = d – e
CG = CH = f
Somit CA = f + d + e , CB = f + d - e
Die Differenz CA – CB ist dem Betrage nach gleich 2e
C liegt auf der Hyperbel mit A, B als Brennpunkte;
F ist ein Scheitel der Hyperbel.
Voilà
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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