| Autor |
Beitrag |
    
Engel19 (Engel19)
Junior Mitglied
Benutzername: Engel19
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 18:26: | 
|
Hi
Ich hab da zwei Aufgaben wo ich mir total unsicher bin ob mein Ansatz überhaupt richtig ist.
Oder ob ich komplett falsch liege wie es dann richtig heißt.
1.Beweise den Lehrsatz:
Die Winkelsumme in einem n-Eck beträgt: (2n-4)*90°
oder (n-2)*180°.
Ich hab ein Dreieck gezeichnet und Linien von einem Punkt zum anderen gezeichnet. Aber weiter komm ich nicht.
2.Beweisen der Umkehrung des Thalessatzes.
Die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks liegen auf einem Kreis mit der Hypotenuse als Durchmesser.
Ich hab ein Dreieck gezeichnet mit den Seiten a,b,c. A,b,c muss auf einem Kreis liegen u. bei a
u. b wird die Strecke halbiert. Aber jetzt hänge ich ein bißchen fest. Ich soll auch die Sätze die ich zum Beweis herangezogen mitschreiben. Wäre um jede Unterstützung dankbar. |
Emperor2002 (Emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Emperor2002
Nummer des Beitrags: 154
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 18:44: |
|
Zu 1)
regelmäßiges n-Eck. Betrachte vom Mittelpunkt des Umkreises die Verbindungen zu den Ecken. Es entstehen hier n-Winkel der Größer 360°/n. Verbindet man außerdem die zwei nebeneinander liegende Ecken, erhält man zusammen mit den Verbindungen Mittelpunkt-Ecke n gleichschenklige Dreiecke. Den Winkel beim Mittelpunkt kennst du, die beiden anderen sind gleich groß. Im Dreieck gilt, dass die Innenwinkelsumme 180° ist =>
alpha = (180° - 360°/n)/2
Da aber 2*alpha einem Innenwinkel des n-Ecks entspricht gilt für die Innenwinkelsumme:
Sn = n * (180° - 360°/n) = 180°*n - 360° = (n-2)*180° |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 121
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 00:25: |
|
Zu 1)
Zumindest für konvexe n-Ecke lässt sich die Formel leicht zeigen. (Das sind n-Ecke, die keine Ecke "nach innen" haben, also keinen Winkel über 180° aufweisen.)
Betrachte die folgende Skizze
Es handelt sich um ein Fünfeck als Beispiel. Die Überlegung lässt sich aber auch bei jedem anderen n-Eck durchführen.
Wähle einen Punkt im Inneren des n-Ecks. Verbinde ihn mit den n Eckpunkten. Du erhältst n Dreiecke. Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180°, in allen n Dreiecken zusammen also n*180°. Dabei hast du allerdings auch die n Winkel addiert, die den gewählten Punkt im Inneren als Scheitelpunkt haben (in der Skizze mit 2 Bögen markiert). Diese n Winkel ergeben zusammen 360°=2*180°. Da wir sie "unberechtigt" addiert haben, müssen wir ihre Gesamtgröße wieder abziehen:
Es ergibt sich also n*180°-2*180°=(n-2)*180° - und das bei jedem konvexen n-Eck.
Nicht-konvexe n-Ecke kann man durch geeignete Zerlegungen in konvexe Teil-n-Ecke einteilen. Für jedes dieser Teil-n-Ecke gilt dann der obige Satz, damit auch für das gesamte n-Eck.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
|
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 122
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 00:47: |
|
Zu 2)
Sieh dir diese Skizze an:
Es handelt sich zunächst um ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Winkel a mit Scheitelpunkt A und b mit Scheitelpunkt B. Im Punkt C ist zusätzlich noch einmal der Winkel a abgetragen. Der freie Schenkel dieses Winkels schneidet AB in einem Punkt P.
Da die beiden Basiswinkel des Dreiecks ACP gleich groß sind, ist ACP ein gleichschenkliges Dreieck. Die beiden Seiten AP und CP sind gleich groß.
Nun ergänzen sich die beiden Hypotenusenwinkel a und b in einem rechtwinkligen Dreieck zu 90° (die restlichen 90° stecken im rechten Winkel). Die beiden Winkel bei C a und g1 ergänzen sich ebenfalls zu 90° (eben dem rechten Winkel bei C). Also müssen g1 und b ebenfalls gleich groß sein. Damit ist aber auch das Dreieck BCP gleichschenklig. CP und BP müssen gleich lang sein. Also liegen die 3 Punkte A, B und C gleich weit vom Punkt P entfernt, also auf einem Kreis um P mit dem Durchmesser AB/2.
Das wollten wir zeigen.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
|
Engel19 (Engel19)
Junior Mitglied
Benutzername: Engel19
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 05:49: |
|
Vielen Dank jetzt hab ich es auch endlich kapiert.
Mein Lehrer hat es uns zu umstänlich erklärt |
