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Fancyandy (Fancyandy)
Mitglied
Benutzername: Fancyandy
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 19:59: | 
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Hallo zusammen,
vor geraumer Zeit fand ich eine Aufgabe in diesem Format.
Gegeben ist ein 4 x 4 Quadrat, das die zahlen 1 bis 16 beinhaltet und zwar in aufsteigender Reihenfolge sprich
1. Reihe : 1 2 3 4 / 2. Reihe 5 6 7 8 usw.
Es sind nun aus jeder Reihe und Spalte, jeweils 2 Zahlen zu streichen und die restl. Zahlen zu addieren.
Egal welche Zahlen man nun Streicht die Summe wird stets gleich bleiben.
Dieses gilt es zu beweisen.
Nun ich bin mal soweit rangegangen, und fand heraus dass eine Folge hier wichtig ist.
Und zwar ist die Summe in jedem [geraden] Quadrat (darauf komme ich gleich nochmal zu sprechen) n/2*(n+1).
Streiche ich nun aus jeder Spalte und Zeile 2 zahlen erhalte ich n/4*(n+1) als Restsumme und diese bleibt Fortlaufend gleich. Dieses gilt für alle geraden n und man dann pro Zeile und Spalte n/2 Zahlen streichen muss.
Bei ungeraden n klappt dieses jedoch nocht weil man nicht n/2 Zahlen Streichen kann (sprich keine 2.5 Zahlen zum Besipiel)
Kann mir wer sagen ob und in wiefern ich Rrichtig liege bzw. falls ich was wivhtiges Vergessen habe mir aushelfen ?
Grüße
Andy - der der schon Abi hat aber trotzdem gerne Knoberlt |
Petra22 (Petra22)
Mitglied
Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 22:10: |
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Wofür steht bei dir denn n? |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 820
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 11:26: |
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Hi!
Ich denke, n steht für die Anzahl der Matrixeinträge.
Möchte man einen systematischen Beweis führen, sollte man vielleicht eher von einer quadratischen mxm-Matrix Matrix Am sprechen mit m*m = n.
Sei also Am mit m gerade eine wie oben definierte Matrix. Dann gilt für die Eniträge aij:
aij = (i-1)*m + j
Diese Summe teilen wir nun in zwei Summanden auf:
aij = ai0 + a0j mit ai0 := m*(i-1) und a0j := j, 1<=i,j<=m.
Es ist natürlich egal, ob wir die Summe der durchgestrichenen oder der übrigbleibenden Zahlen betrachten, denn die sind sozusagen komplementär.
Ich nehme im Folgenden die durchgestrichenen.
Dann gilt für die Summe Sm:
Sm = Z + S mit Z Summe der ai0 ("Zeilensumme") und S Summe der a0j ("Spaltensumme").
Da in jeder Zeile m/2 Einträge durchgestrichen sind, erhalten wir für Z:
Z = Sp=1m m/2*ap0
Entsprechend erhalten wir, da auch in jeder Spalte genau m/2 Einträge durchzustreichen sind, für S:
S = Sq=1m m/2*a0q
Also ergibt sich für Sm insgesamt:
Sm = Sp=1m m/2*ap0 + Sq=1m m/2*a0q
= Sp=1m m/2*m*(p-1) + Sq=1m m/2*q
= m2/2 * Sp=1m (p-1) + m/2 * Sq=1m q
= m2/2 * Sp=0m-1 p + m/2 * Sq=1m q
= m2/2 * m(m-1)/2 + m/2 * m(m+1)/2
= 1/4(m4 - m3 + m3 + m2)
= m2/4*(m2 + 1)
oder um bei deiner Bezeichnung mit n = m2 zu bleiben:
= n/4*(n + 1)
Also haben wir gezeigt, dass deine Formel tatsächlich für alle quadratischen Matrizen mit gerader Zeilen/Spaltenzahl gilt.
MfG
Martin |
Fancyandy (Fancyandy)
Mitglied
Benutzername: Fancyandy
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 00:51: |
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Huhu zusammen
Vielen dank, für diese Beweisführung. Die Aufgabe war damals Bundesmatheiklympaiafe Klasse 10 glaube ich, sprch die brauchten es nicht so zu beweisen wie Du, aber danke für die Ergänzung ich glaube so in etwa habe ich das auch hinbekommen.
Gruß
Andy |
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