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Neodeluxe (Neodeluxe)
Neues Mitglied
Benutzername: Neodeluxe
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Oktober, 2003 - 10:16: | 
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Hallo an euch alle. Wir haben heute mit Differenzialrechnugn mit Nebenbedingungen angefangen und gleich eine Aufgabe bekommen, die ich nich kann. Ich hoffe, ihr könnt dir mir erklären: Wäre echt nett von euch
Den Graphen der Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x):=-(x-2)^2+4 soll in dem über dem x Achse liegendem Teil ein Rechtwinkliges Dreieck mit maximalem Flächeninhalt eingeschrieben werden, dessen Katheten parallel zur den Koordinatenachsen liegen. a) Welche Maße haben die Dreiecksseiten b) Welche Fläche hat das Dreieck
Ich hoffe, ihr könnt diese Aufgabe
mfg
Sebastian |
Carpediem (Carpediem)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Oktober, 2003 - 11:19: |
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A(x|y) liege auf f.
Nebenbedingung: y = -(x-2)2 + 4
Damit die Katheten parallel zu den Koordinatenachsen sind, kommen nur B(0|0) und C(x|0) als andere Eckpunkte in Frage.
(Das Dreieck könnte den Punkt B zwar statt in (0|0) auch im anderen Schnittpunkt mit der x-Achse (4|0) haben, das ergäbe aber nur genau die spiegelverkehrten Dreiecke und kann daher kein größeres Dreieck liefern.)
Mit diesen Eckpunkten haben wir:
a = x
b = y
A = ab/2 = xy/2 ® max.
In diese Zielfunktion setzen wir die Nebenbedingung ein:
A = x * (-(x-2)2+4) / 2
A = x * (-x2+4x) / 2
A = (-x3+4x2) / 2
A´ = (-3x2+8x) / 2 = 0
-3x2+8x = 0
x(-3x+8) = 0
x1 = 0 ergibt kein Dreieck
x2 = 8/3
A´´ = (-6x+8) / 2
A´´(8/3) = (-16+8) / 2 = -4 < 0
Daher liegt tatsächlich ein Maximum vor.
y = -(x-2)2 + 4
y = -((8/3)-2)2 + 4
y = -(2/3)2 + 4
y = -4/9 + 4
y = 32/9
c = Wurzel(x2 + y2)
c = Wurzel(64/9 + 1024/81)
c = Wurzel(576/81 + 1024/81)
c = Wurzel(1600/81)
c = 40/9
A = xy/2 = (8/3)(32/9) / 2
A = (8*16)/(3*9)
A = 128/27
a) Die Dreiecksseiten sind 8/3, 32/9 und 40/9.
b) Die Dreiecksfläche ist 128/27 E2.
werbungsfriedhof@hotmail.com |
Neodeluxe (Neodeluxe)
Junior Mitglied
Benutzername: Neodeluxe
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Oktober, 2003 - 14:33: |
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Hey wow. Danke, für deine schnelle Antwort. Ich schau mir das jetzt ma genauer an, damit auch ich das verstehe
thx noch ma |
Neodeluxe (Neodeluxe)
Junior Mitglied
Benutzername: Neodeluxe
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Oktober, 2003 - 16:12: |
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HI. Ich bin es noch mal.
Ich habe mir jetzt mal deine Antwort angeschaut. Aber irgendwie versteh ich den ersten teil voll nich :-/
Ich verstehe zum Beispiel nicht, wie du auf die Eckpunkte und somit auf die FUnktion für den Flächeninhalt kommst. Ich würde mich auf noch eine Hlfe von dir sehr freuen
Danke schon ma im VOrraus
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Carpediem (Carpediem)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Oktober, 2003 - 23:44: |
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Das Flächenstück, in das ein Dreieck einzuschreiben ist, wird von f und der x-Achse begrenzt. Daher sind die Schnittpunkte von f mit der x-Achse, d.h. die Nullstellen von f interessant: (0|0) und (4|0). Die Parabel f ist nach unten offen, weil in f vor dem x2 ein Minus steht.
(f ist ja ausquadriert -(x2-4x+4)+4 = -x2+4x)
Mache eine Skizze von einer nach unten offenen Parabel, die durch (0|0) und (4|0) geht. In das halbkreisähnliche Flächenstück zwischen Parabel und x-Achse soll das Dreieck eingeschrieben werden. Um den Platz optimal auszunützen, muss sicher ein Eckpunkt auf der Parabel liegen, das sei A(x|y). Zeichne ihn auf der Parabel ein Stück rechts vom Hochpunkt der Parabel. Da eine Dreiecksseite parallel zur y-Achse sein soll, gehen wir von A kerzengerade nach unten soweit es geht, also bis zur x-Achse. Der dortige Punkt C hat dieselbe x-Koordinate wie A, weil wir kerzengerade hinuntergegangen sind, und er hat die y-Koordinate 0, weil er auf der x-Achse liegt: C(x|0). Da eine Dreiecksseite parallel zur x-Achse sein soll und C auf der x-Achse liegt, gehen wir die x-Achse entlang soweit es geht, also bis B(0|0).
(Theoretisch könnte man auch in die andere Richtung bis (4|0) gehen. Aber jedem rechtwinkeligen Dreieck mit Eckpunkt in (4|0) entspricht seitenverkehrt ein genau gleich großes mit Eckpunkt in (0|0), daher bringt das nichts Neues.)
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