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Kellerfenster (Kellerfenster)
Junior Mitglied
Benutzername: Kellerfenster
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 16:12: | 
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Der betrag von x-1 ist kleiner gleich 1/x+1
wer kann mir die lösung sagen? |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 719
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 18:55: |
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|x - 1| <= 1/x+1 ????
Heisst's nun 1/(x+1) oder (1/x) + 1 ????
Daher sind Klammern zu setzen!
Wie auch immer, mittels Fallunterscheidung lösen:
a) x - 1 >= 0, dann können die Betragszeichen weggelassen werden:
x - 1 <= 1/x+1
Lösungsmenge L1 unter Voraussetzung x >=1 ermitteln!
....
b) x - 1 < 0, dann können die Betragszeichen erst weggelassen werden, wenn mit (-1) multipliziert wird:
1 - x <= 1/x+1
Lösungsmenge L2 unter Voraussetzung x < 1 ermitteln!
....
Die Lösungsmengen L1 und L2 von a) und b) sind zu vereinigen.
Gr
mYthos
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Carpediem (Carpediem)
Mitglied
Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 20:56: |
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Fall 1:
x - 1 ³ 0
x ³ 1 *
Die Betragsstriche dürfen weggelassen werden.
x - 1 £ 1 / (x+1)
Wir multiplizieren mit (x+1), das wegen * sicher positiv ist.
(x-1)(x+1) £ 1
x2 - 1 £ 1
x2 £ 2
-Wurzel(2) £ x £ Wurzel(2)
Es muss auch * gelten.
1 £ x £ Wurzel(2)
Fall 2:
x - 1 < 0
x < 1 *
Die Betragsstriche werden durch Klammern ersetzt mit - davor.
-(x-1) £ 1 / (x+1)
Wir multiplizieren mit (x+1).
Fall 2a:
x + 1 > 0
x > -1 *
Das Ungleichungszeichen dreht sich nicht um.
-(x2-1) £ 1
-x2 £ 0 wahre Aussage
Alle -1 < x < 1 sind Lösung.
Fall 2b:
x + 1 < 0
x < -1
Das Ungleichungszeichen dreht sich um.
-(x2-1) ³ 1
-x2 ³ 0 falsche Aussage
Fall 2c:
x + 1 = 0
Dann ist die Ungleichung der Angabe nicht definiert.
Aus Fall 1 und Fall 2a ergibt sich insgesamt:
L = ]-1;Wurzel(2)]
werbungsfriedhof@hotmail.com |
Kellerfenster (Kellerfenster)
Junior Mitglied
Benutzername: Kellerfenster
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 08:00: |
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so ganz vertehe ich die fallunterschiede nicht... speziell fall 2 ist mir ein wenig wirr |
Carpediem (Carpediem)
Mitglied
Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 50
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 16:28: |
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Das ist deshalb so kompliziert, weil du sowohl eine Fallunterscheidung für den Betrag machen musst (das trennt Fall 1 und Fall 2). Innerhalb des Falls 2 musst du dann noch beachten, ob der Nenner x+1 positiv, negativ oder 0 ist, weil du mit diesem Nenner multiplizieren willst und sich dann eventuell das Ungleichungszeichen umdreht (das spaltet Fall 2 in a, b und c auf). Das sieht aber komplizierter aus als es ist, denn Fall 2b und 2c liefern ohnehin keine Lösungen, d.h. in Wirklichkeit sind nur Fall 1 und Fall 2a interessant.
werbungsfriedhof@hotmail.com |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 726
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 17:47: |
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Also mal die ganze Rechnung:
a) x-1 >= 0, dann können die Betragszeichen weggelassen werden:
x-1 <= 1/(x+1), (x+1) > 0, da x >=1
x²-1 <= 1
x² <= 2
-sqrt(2) <= x <= sqrt(2)
L1 = {x | 1 <= x <= sqrt(2)}
Die Lösungsmenge L1 wurde unter der Voraussetzung: x >=1 ermittelt.
b) x - 1 < 0 [entspricht x < 1], dann können die Betragszeichen erst weggelassen werden, wenn innerhalb derer mit (-1) multipliziert wird:
1-x <= 1/(x+1)
Fall ba) -1 < x < 1, dann ist (x+1) > 0
1-x² <= 1
0 <= x²
ist immer der Fall
L2a = {x | -1 < x < 1}
Fall bb) x < -1, dann ist (x+1) < 0
1-x² >= 1
x² <= 0
nur bei x = 0
L2b = {}, leer
Lösungsmenge L2a wurde unter Voraussetzung -1 < x < 1 und L2b unter Voraussetzung x < -1 ermittelt.
Alle Lösungsmengen sind nun zu L zu vereinen:
L = ]-1, 1[ oder [1, sqrt(2)]
L = ]-1, sqrt(2)]
L = {x | -1 < x <= sqrt(2)}
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Die Probe erfolgt mittels Stichproben (aus L muss eine richtige, ausserhalb L eine falsche Aussage resultieren):
|x-1| <= 1/(x+1)
x = -2
3 <= -1 f.A.
x = -11/10
21/10 <= -10 f.A.
x = -9/10
19/10 <= 10 w.A.
x = 0
1 <= 1 w.A.
x = 1
0 <= 1/2 w.A.
x = 2
1 <= 1/3 f.A.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 05., Oktober. 2003 von mythos2002 editiert) |
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