| Autor |
Beitrag |
    
Nasupi (Nasupi)
Mitglied
Benutzername: Nasupi
Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. September, 2003 - 22:06: | 
|
Also, ich habe folgende Frage, wenn ich die konvergenz einer Folge überprüfen soll, dann soll ich erst einen Grenzwert vermuten und dann den Nachweis bringen, indem ich diesen Grenzwert in die Bestimmung a_n-g<e. Dann löse ich die Ungleichung nach n auf. Jetzt zu meiner Frage: Woran würde ich erkennen, wenn ich einen Grenzwert falsch vermutet habe? Denn im Grunde kann ich die Ungleichung ja auch mit einem falschen Grenzwert nach n auflösen und auch ein Ergebnis bekommen. Wie kann ich dann erkennen, ob der Grenzwert der Richtige war? Wie kann ich das überprüfen?
Wenn ich z.B. a_n=1/n könnte ich doch vermuten, dass der Grenzwert 1 ist (ich weiß, dass es eine Nullfolge ist, jetzt mal rein theoretisch), setze ich 1 für den Grenzwert ein, bekomme ich am Ende n> 1/e+1 raus. Wenn ich 0 einsetze, bekomme ich n>1/e. Woran kann ich jetzt erkennen, dass n> 1/e+1 'falsch' ist, weil der Grenzwert falsch ist? Wenn euch die Frage dumm vorkommt, dann bitte erkennt dass ich es um so nötiger habe geholfen zu bekommen :-))).
Also Beispiel habe ich das hier: a_n=(n^+1)/(3n^2+7). Ich habe den Grenzwert 1/3 vermutet, weil man für große n die 1 im Zähler und die 7 im Nenner vernachlässigen kann. Nun habe ich praktisch a_n=|(n^+1)/(3n^2+7)-1/3|<e gesetzt. Woran sehe ich jetzt aber am Ergebnis, ob ich mit dem Grenzwert richtig liege? Wie kann ich das austesten? Ich weiß nicht, wie ich anders fragen soll.
Vielen Dank im Voraus und
viele Grüße
NS:-)
|
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 679
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 01:27: |
|
Zum ersten: Die zu zeigende Behauptung ist nicht an-g < e sondern |an-g| < e und das macht einen riesen Unterschied, wie man an deinem Beispiel sieht.
Denn für an=1/n und g=1 wäre |1/n - 1|=1-(1/n)
und dann führt die Grenzwertbedingung umgeformt auf n<1/(e-1) was zeigt, daß 1 nicht der Grenzwert sein kann.
Das zweite Beispiel ist leider nicht verständlich dargestellt, da der Exponent des Zählers unklar ist.
Sollte es an=(n²+1)/(3n²+7) heißen, so ist der Grenzwert 1/3 korrekt und der Beweise läuft nach dem oben geschilderten Schema.
|(n²+1)/(3n²+7) - (1/3)| = |(3(n²+1)-(3n²+7))/(3(3n²+7))| = |-4/(3(3n²+7))| = (4/3)/(n²+7)
Also ist |an-g| < e äquivalent zu
(4/3)/(n²+7) < e
4/(3e) < n²+7
n>Ö(4/(3e)-7) q.e.d
Wenn man es mit der Abschätzung für N nicht so genau nehmen will, kann man auch n²+7 durch (4/3)n² ersetzen und erhält die einfachere Form n>1/Öe.
|
Nasupi (Nasupi)
Mitglied
Benutzername: Nasupi
Nummer des Beitrags: 50
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 09:09: |
|
Hallo Ingo,
O.k. da habe ich einen Rechenfehler gemacht, mit dem Betrag, aber im Heft hatte ich es richtig, also n<1/(e-1). Wie du sehen kannst, habe ich ja die nächste Aufgabe in Betrag geschrieben, war also Huttelei und du hast Recht, es sollte n^2 heißen (Tippfehler). Aber das war ja auch gar nicht meine Frage. Ich wollte keine Lösung, ich wollte einfach nur sehen, WORAN ich erkenne, dass ich den falschen Grenzwert erkenne? Ein Ergebnis bekomme ich ja immer. WARUM also zeigt n<1/(e-1), dass 1 nicht der Grenzwert sein kann? Woran erkenne ich das?? Bitte könntest du da nochmal drauf eingehen? Das wäre echt super.
Liebe Grüße
NS |
Nasupi (Nasupi)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: Nasupi
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 14:57: |
|
Halt!!
Ich war heute morgen etwas in Eile und da habe ich eine falsche Angabe gemacht.Ich wollte die Nachricht editieren, ging aber nicht mehr.
Also nochmal von vorne.
Mein Problem sieht so aus: Wenn ich für den Grenzwert 1 eingesetzt in |1/n-1|<e das Ergebnis n<1/(e-1) rausbekäme, wäre mir ja ganz klar, dass das nicht stimmen kann, weil es ja keine unendlich vielen n's gibt, für die das zutrifft (ist die Begründung richtig?), also hätte ich mich gar nicht gefragt , woran ich erkenne, dass 1 ein falsch vermuteter Grenzwert ist. Aber mein Problem ist, dass ich immer auf n>1/(e-1) komme!!!! (Das habe ich in der Eile heute morgen nicht genau nachgeschaut) Und deshalb habe ich mich gefragt, WORAN ich sehe, dass mein Grenzwert falsch ist, denn es gibt ja unendlich viele n die >1/(e-1) sind. Also wäre folglich mein Problem, dass ich irgendwo einen Rechenfehler habe, weil ich einfach nicht auf das Kleiner-Zeichen komme. Bitte kann sich einer meine Rechnung ansehen und sagen, wo mein Fehler liegt? Und stimmt die Begründung von mir ansonsten? Das wäre wirklich sehr wichtig. BITTE erbarm sich nochmal einer, ja?
Hier meine Rechnung:
|(1/n)-1|<e
(1/n)+1|<e
(1/n)<e-1
n>1/(e-1)
Was ist daran falsch? Bitte, ich komm' einfach nicht drauf, helft mir!!!!
LG
NS |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 681
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 17:49: |
|
ganz einfach: |(1/n)-1|=1-(1/n) und nicht (1/n)+1
wenn du dann weiter umformst sieht das so aus:
1-(1/n)<e
1-e<(1/n)
n<1/(1-e) für hinreichend kleines e
|
Nasupi (Nasupi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Nasupi
Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 18:02: |
|
Hallo Ingo,
Vielen Dank!!! Also habe ich ein Problem mit den Beträgen? Wenn ich doch |-1|habe, dann ist das doch =+1 oder? Wieso ist dann |x-1|=1-x??? Wie kann ich mir sowas merken? Das habe ich eindeutig nicht verstanden. Meinst du, du kannst mir das nochmal näher erklären (falls das überhaupt möglich ist)Ansonsten stimmt aber meine Annahme, dass ich einen falschen Grenzwert daran erkenne, dass es für n keine unendlich viele Zahlen gibt, die man in die Ungleichung einsetzen kann? ´Würde mich freuen, wenn du mir nochmal antworten könntest. DANKE!!!!
NS |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 682
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 19:23: |
|
Der Betrag ist ja dadurch ausgezeichnet, daß er nie negativ wird.
Du hast richtig gesagt, daß |-1|=1 aber du beachtest dabei nicht, daß der Betrag nicht additiv ist, d.h.
|a+b|¹|a|+|b| im Normalfall
einfaches Beispiel: 2=|1|+|-1|¹|1-1|=0
Es ist recht offensichtlich, daß (1/n)-1<0 für alle n>1 und somit ist |(1/n)-1| = -((1/n)-1) = -(1/n)+1 (Vergl. |-1| = -(-1) = 1)
Deine Schlußfolgerung mit dem n<... ist korrekt. Per Definition muß es ja ein N geben, ab dem alle Folgeglieder um weniger als e vom Grenzwert abweichen und das kann hier nicht sein.
Hilft das weiter? |
|
