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Chloè (chloè)
Neues Mitglied
Benutzername: chloè
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. September, 2003 - 09:10: | 
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Hallo!
f_2(x)= (log_2(x)-2)/(2*x)
Aufgabe: Skizziere den Grafen. Untersuche zur Anfertigung der Zeichnung die Funktion auf Nullstellen, Pole und anhand von Funktionswertberechnungen eventuell mögliche Grenzwerte für x gegen unendlich.
Kann mir da jemand weiter helfen? Ich weiss noch nicht mal wie man mit dem Logarithmus in dem Term die Zählernullstellen bestimmt.. 
Grüße von
Chloè |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1352
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. September, 2003 - 11:30: |
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mit log_2 ist wohl log2 also Logarithmus
zur
Basis 2 gemeint
also
log2(2) = 1
2*log2(2)= 2 = log2(22)
Die
Zähler 0Stelle ist also x = 4;
allgemein
gilt für eine Basis b
blogb(x)=x
ln(blogb(x)) = ln(x)
[logb(x)]*ln(b) = ln(x)
daß x = 0 eine Polstelle
ist
dürfte ja leicht zu sehen sein,
da ln(x ->0) -> -oo, das dann noch "durch 0 dividiert" ist sicher auch -oo
im
übrigem
rufe
Mathdraw
auf
tippe
f(x)=(ln(x)/ln(2)-2)/(2*x)=?
ins Eingabefenster und klicke Zeichnen.
Den Darstellungsbereich des Graphen
kanst Du in den 4 kleinen Fensterchen
rundherum einstellen
(
die "Entertast" tippen, wenn Einstellung
fertig. Dann wird neu gezeichnet
)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 644
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. September, 2003 - 12:27: |
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Hi,
log_2(x) bedeutet, dass der Logarithmus zur Basis 2 zu nehmen ist. In diesem Sinne ist die Nullstelle leicht zu ermitteln:
log_2(x) - 2 = 0
log_2(x) = 2
x = 2² = 4 (der Logarithmand ist Basis hoch Logarithmus!)
Die Polstelle: Nullsetzen des Nenners ->
2x = 0
x = 0 (dort gibt es eine vertikale Asymptote)
Für x -> +oo geht auch log_2(x) gegen +oo; da der Nenner ebenfalls gegen unendlich geht, liegt eine unbestimmte Form [oo/oo] vor. Mit Hilfe der Regel von L' Hospital (Zähler und Nenner getrennt ableiten) erhält man dann
lim(x -> +oo) [1/(x*ln(2))]/2 = 0/2 = 0
Das bedeutet: Es liegt also auch eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = 0 vor. D.h., geht man mit den x-Werten unendlich weit nach rechts, nähert sich die Kurve (von oben) der x-Achse. Da aber bei x = 4 eine Nullstelle vorliegt, muss es (nach 4) noch einen Extremwert und einen Wendepunkt geben.
Der Extremwert (der von einigen CAS nicht explizit ausgegeben wird) liegt bei x = 4*e
Bevor ich mir noch weitere Mühe mache, sag' mal bitte, ob dich das bisher Gesagte weitergebracht hat.
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 645
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. September, 2003 - 13:44: |
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Friedrich hat die gegebene Funktion in natürliche Logarithmen umgewandelt, was durchaus sinnvoll ist, denn dadurch kann mit den gängigen Ableitungsregeln weitergerechnet werden.
Es ist
y = (log_2(x)-2)/(2*x),
wir ersetzen log_2(x) durch ln(x)/ln(2) ->
y = (ln(x)/ln(2) - 2)/(2x) = (ln(x) - 2*ln(2))/(2x*ln(2))
Die Ableitung (Quotientenregel):
y' = (1 + 2*ln(2) - ln(x))/(x²*2ln(2))
Extremum: Nullsetzen des Zählers:
ln(x) = 1 + 2*ln(2)
ln(x) = ln(e) + ln(4) = ln(4*e)
x = 4e = 10,9
Wendepunkt:
2.Ableitung -> 0
y'' = -[(3/2 + ln(4) - ln(x)]/(x³*ln(2)) -> 0
ln(x) = ln(4) + ln(sqrt(e³))
x = 4*sqrt(e³) = 17,9
(sh. Grafik!)
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 646
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. September, 2003 - 14:23: |
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In Mathdraw erhält man einen ganz guten Verlauf des Graphen, wenn für x links 0, rechts 20 und für y oben 0.1 und unten -0.1 eingegeben wird!
Gr
mYthos
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Chloè (chloè)
Junior Mitglied
Benutzername: chloè
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. September, 2003 - 15:29: |
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Wow.. vielen herzlichen Dank für Eure Mühe!!
Grüße von Chloè
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