| Autor |
Beitrag |
    
Doro (doro_85)
Neues Mitglied
Benutzername: doro_85
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 17:52: | 
|
Hi!
Ich verstehe einfach nicht, wie man 1. zu der Polynomaufgabe z.B. (...)/(...)=(...)kommt 2. was man mit der letzten Zahl der Gleichung z.B. -4 macht und 3. wie man diese dann schriftlich lösen soll... Könntet ihr mir das BITTE anhand der Aufgaben:
1) f(x)=x^4-2x³+x²-12x
2) f(x)=x³+x²-4x-4
3) f(x)=x³-3x²-6x+18
ausführlich(!) erklären!? DANKESCHÖN!!!!!!!
|
Astrid Sawatzky (sawatzky)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: sawatzky
Nummer des Beitrags: 91
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 19:17: |
|
Hallo Doro,
ich nehm erstmal die dritte Aufgabe
f(x)=x^3+x^2-4x-4
Wenn Du Polynome höheren Grades hast, bleibt Dir erstmal nicht viel anderes übrig als eine erste Lsung zu raten. Ich prüfe immer erst die ganzzahligen Teiler des konstanten Gliedes (in diesem Fall von 4) und zwar in positiv und negativ. (indiesem Fall 1;2 und 4 und -1; -2 und -4)
f(x)=x^3+x^2-4x-4
f(1) =1+1-4-4= -6
f(2)= 8+4-8-4 = 0 Ha der ist gut
Weil ich jetzt weiß das 2 eine Lösung von
f(x)=x^3+x^2-4x-4=0 ist
mache eine Polynomdivision mit (x-2)
also immer (x MINUS Lösung)
(x^3+x^2-4x-4)/(x-2)= ?
Die erste Überlegung ist wie oft paßt das x in x^3, hmm das ist x^2
also
(x^3+x^2-4x-4)/(x-2)= x^2
im nächsten schritt multipliziere ich dieses x^2 mit (x-1), das ist (x^3-x^2) und ziehe es von meinem Ursprungspolynom ab.
(x^3+x^2-4x-4)/(x-2)= x^2
-(x^3-x^2)
---------
.......0-4x-4
Dann überlege ich, wie oft x in -4x passt, dass ist -4 also
(x^3+x^2-4x-4)/(x-2)= x^2-4
-(x^3-x^2)
---------
.......0-4x-4
Jetzt wieder multiplizieren: -4 * (x-1) =(-4x-4)
und abziehen von dem Rest der mir verblieben ist.
(x^3+x^2-4x-4)/(x-2)= x^2-4
-(x^3-x^2)
---------
.......0-4x-4
.......-(-4x-4)
--------------
.............0
.............==
Rest 0 ist klasse, d.h. nämlich, dass das ganze wie erwartet aufgegangen ist.
also ist
(x^3+x^2-4x-4)/(x-2)= x^2-4
und damit auch (x^3+x^2-4x-4)=(x-2)(x^2-4)
Den Letzten Faktor kann man jetzt nach gültigen Lösungen untersuchen indem man (x^2-4) = 0 setzt und auflöst, oder es fällt einem auf, dass das ein Binom der dritten Form ist. Man kann aber auch hier eine Polynomdivision machen.
also (nachdem wir probiert haben 2 ist eine Lösung
(x^2-4)/(x-2)=?
hmm x^2 / x = x
also
(x^2-4)/(x-2)=x
multiplieziern und abziehen
also
(x^2-4)/(x-2)=x
-(x^2-2x)
-------------
......+2x-4
hmmm 2x/x = 2 also
(x^2-4)/(x-2)=x+2
-(x^2-2x)
-------------
......+2x-4
multiplizieren und abziehen
(x^2-4)/(x-2)=x+2
-(x^2-2x)
-------------
......+2x-4
.....-(2x-4)
-------------
..........0
..........==
also ist (x^2-4)/(x-2)=x+2
und somit x^2-4=(x-2)(x+2)
und deshalb
(x^3+x^2-4x-4)=(x-2)(x^2-4)
(x^3+x^2-4x-4)=(x-2)(x-2)(x+2)
Alles Klar??
Üben würde ich den Krempel mit quadratischen Polynomen, weil man da ja die Lösung schon verher ausrechnen kann.
Gruß Astrid
|
Walter H. (mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 549
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juli, 2003 - 19:53: |
|
Mit einem geschulten Auge sieht man es direkt 
1) f(x)=x^4-2x³+x²-12x
f(x) = x(x³-2x²+x-12)
f(3) = -3(27-18+3-12) = 0
f(x) = x(x-3)(x²+x+4)
2) f(x)=x³+x²-4x-4
f(x)=x²(x+1)-4(x+1) = (x²-4)(x+1) = (x-2)(x+2)(x+1)
3) f(x)=x³-3x²-6x+18
f(x)=x²(x-3)-6(x-3) = (x²-6)(x-3) = (x-sqrt(6))(x+sqrt(6))(x-3)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
|
Astrid Sawatzky (sawatzky)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: sawatzky
Nummer des Beitrags: 92
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 11:43: |
|
Mein lieber Walter,
das ist so wohl wahr, erklärt aber nicht wirklich wie man eine Polynomdivision durchführt oder??
Gruß Astrid |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 618
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 18:39: |
|
@Astrid
Die Polynomdivision führt man nur aus, wenn man (wie z.B. bei Erraten einer Lösung) dazu gezwungen ist. Hier aber kann das (und soll es auch) mittels des geschickten Ausklammerns, wie es Walter gezeigt hat, vermieden werden! Denn wenn einmal die Faktoren dastehen, brauchst ja nimmer dividieren, sondern jeden einzelnen Faktor Null setzen.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 06., Juli. 2003 von mythos2002 editiert) |
Doro (doro_85)
Neues Mitglied
Benutzername: doro_85
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juli, 2003 - 22:20: |
|
Hi!
VIELEN DANK EUCH DREIEN!!!!!!! |
Doro (doro_85)
Neues Mitglied
Benutzername: doro_85
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juli, 2003 - 22:24: |
|
PS: So wie Astrid das erklärte, wars richtig! DANKE!;-) |
pioug
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. August, 2006 - 18:38: |
|
Zitat von Astrid: "mache eine Polynomdivision mit (x-2)
also immer (x MINUS Lösung)"
Ich habe glaub ich mal gelernt das man für die Polynomdivision immer das Vorzeichen der ersten Nullstelle die man , durch raten, herausfindet
verändern soll [also *(-1)]. Wenn meine erste Nullstelle also zb -2 müsste ich dann wie du sagst die -2 so in er Polynomdivision benutzen oder müsste ich dann das Vorzeichen ändern?
Es wäre sehr nett wenn ihr mich aufklären könntet wie ich hier richtig vorgehen müsste.
Vielen Dank im Vorraus
pioug |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 3133
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. August, 2006 - 19:37: |
|
aendern
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Polya]
|
