    
Tamara (spezi)
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Benutzername: spezi
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Juni, 2003 - 19:17: | 
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Hallo Franzi,
eine Funktion, die streng monoton ist, ist z.B.
f(x)=x, wenn je größer x ist, desto größer wird automatisch auch f(x). Deshalb heißt die Funktion "streng monoton steigend".
Die Funktion f(x) = -x ist umso kleiner, je größer x ist, deshalb heißt sie "streng monoton fallend".
Am Schaubild (oder Graph) der Funktion erkennt Monotonie daran, dass die Funktionswerte immer größer oder kleiner werden.
Die Funktion f(x)=x ist für x < 0 streng monoton abnehmend, denn das Schaubild "geht runter", für x > 0 ist sie streng monoton zunehmen, denn da wird die Funktion immer größer.
(Bei der Null kann man diskutieren)
Die Steigung der Funktion (Diffenerezenquotient) ist ja (f(x) - f(x0))/(x - x0), vielleicht schreibt ihr auch (f(x0 + h) - f(x0))/h oder delta(y)/delta(x) gibt die Steigung zwischen zwei Punkten an.
Die Steigung in einem Punkt gibt der Differenzialquotien an, der Grenzwert für x->x0 (h -> 0 bzw delta(x) -> 0), man schreibt auch df/dx oder f'(x).
Eine positive Steigung deutet auf streng monoton wachsend hin, eine negative auf streng monoton fallend.
Mathematisch nachweisen kann man strenge Monotonie in einem Intervall deshalb, indem man die erste Ableitung berechnet und schaut, ob und wo sie kleiner oder größer als null ist.
Wenn die Funktion sehr einfach ist, genügt aber auch, wenn man nachweist dass im ganzen Intervall gilt f(a)>f(b) für a > b für streng monoton steigend oder eben f(a)<f(b) für a > b für streng monoton fallend.
Falls ihr schon Extremstellen hattet: Eine stetige und differenzierbare Funktion ist immer zwischen den Extremstellen auf eine Art streng monoton. Falls ihr Extrema noch nicht hattet, verßig den Satz. Frag bitte, wenn etwas unklar ist.
Tamara
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