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Beitrag |
    
Linda (sugargirl)
Neues Mitglied
Benutzername: sugargirl
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 17:35: | 
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Einem Kegel (Radius R, Höhe H seien gegeben) soll ein zweiter Kegel (Radius r, Höhe h) so einbeschrieben werden, dass seine Spitze im Grundkreismittelpunkt des ersten Kegels liegt. Wie sind r und h zu wählen, damit das Volumen des beschriebenen Kegels maximal wird? |
Walter H. (mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 527
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 21:25: |
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V = r^2*h * pi/3
r = R/H * (H-h)
r * H = R * H - R * h
(r - R) * H = -R * h
(R - r) * H / R = h
V(r) = r^2* (R - r) * H / R * pi/3
V(r) = r^2* H * pi/3 - r^3 * H / R * pi/3
V'(r) = 2r*H * pi/3 - r^2 * H / R * pi
2r*H * pi/3 - r^2 * H / R * pi = 0 | r = 0 fällt weg
2*H * pi/3 - r * H / R * pi = 0
2*H * pi/3 = r * H / R * pi
2/3*R = r
(R - 2/3*R) * H / R = h
H/3 = h
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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elsa (elsa13)
Mitglied
Benutzername: elsa13
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 11:12: |
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Linda,
gegeben ist ein Kegel mit dem Radius R und der Höhe H.
Bezeichnen r und h den Radius und die Höhe des eingeschriebenen Kegels,
folgt aus den Beziehungen in ähnlichen Dreiecken (Skizze!):
r : (H-h) = R : H
Diese Gleichung ist die NEBENBEDINGUNG der vorliegenden Extremwertaufgabe.
Die Forderung, dass der Rauminhalt des Kegels V = (r^2*pi*h)/3 maximal wird,
ist die HAUPTBEDINGUNG.
Löst man die Nebenbedingung nach einer der beiden vorkommenden Variablen r und h
z.B. nach h:
h = [H(R-r)] / R
und setzt diese Lösung in die Hauptbedingung ein, erhält man die Gleichung:
V = V(r) = [pi*H*r^2(R-r)] / [3R]
Durch Weglassen des konstanten Faktors (pi*H) / (3R) wird die Ansatzfunktion vereinfacht, es entsteht
V*(r) = r^2(R-r) = R* r^2 – r^3
mit 0 <= r <= R
Im angegebenen Definitionsbereich für r erhält man eine nach oben gekrümmte Kurve, das maximale Volumen tritt beim Hochpunkt dieser Kurve auf, d.h. an jener Stelle, wo die Tangente an die Kurve horizontal ist, also die erste Ableitung von V*(r) ( = Anstieg der Tangente) gleich null ist.
(V*(r))’ = 2R*r – 3r^2 = 0 <=> r*(2R – 3r) = 0 <=> r=0 oder
r = 2/3*R
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Nachweis des relativen Maximums:
Die zweite Ableitung an der Stelle r = 2/3*R muss kleiner als null sein, und das ist der Fall ( sie ist -2R und das ist < 0 wegen R>0 ),
Die Berechnung von h ergibt:
h=1/3*H
********
Somit beträgt das maximale Volumen
V (max) = [ 4R^2*pi*H ] / 81
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Zur Überprüfung, ob das relative Maximum das absolute Maximum ist oder ob das absolute Maximum in einem Randpunkt des Intervalls liegt, für das r definiert ist,
berechnet man die Funktionswerte bzw. das Volumen für r = 0 und r = R.
Aus r = 0 folgt V = 0
und für r = R folgt h = 0 und somit wieder V = 0.
Das maximale Volumen hat also ein eingeschriebener Kegel mit
r = 2/3*R und h=1/3*H
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mit lieben Grüßen
elsa
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