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Produkt/Quotienten Regel

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klasse 11 » Differentialrechnung » Ableitungen / Differentiationsregeln » Differentiationsregeln » Produkt/Quotienten Regel « Zurück Vor »

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gemuse (gemuse)
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Junior Mitglied
Benutzername: gemuse

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 11-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 19:53:   Beitrag drucken

Hallo!
Wir ham in der Schule nur 3 Ableitungsregeln gelernt, Potenz, Summen und Faktorregel. produktregel und Quotientenregel steht bei uns gar net im Buch.
Ich weiß zwar wie sie gehen, aber ich würde gerne wissen wie sich diese beiden Regeln beweisen lassen.
Kann mir da jemand nen Beweis schildern?

gemuse

p.s. eigentlich ist die Produktregel doch überflüssig, ich mein mit Ausmultiplizieren und dann nach der Summenregel abzuleiten ist doch viel einfacher... meint ihr nicht?
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Klaus (kläusle)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 440
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 21:48:   Beitrag drucken

Hi!

Für die Beweise muss jemand anderes helfen. Ich kann es zwar, hab aber keine Zeit dafür.

p.s. eigentlich ist die Produktregel doch überflüssig, ich mein mit Ausmultiplizieren und dann nach der Summenregel abzuleiten ist doch viel einfacher... meint ihr nicht?

Da liest du falsch.
Was machst du bei x*sin(x) ??
Da kannst du nicht ausmultiplizieren...
Daher ist die Produktregel nicht wegzudenken!!


MfG Klaus
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Martin (specage)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: specage

Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 09:32:   Beitrag drucken

Hallo,

zur Produktregel:

f(x)=u(x)*v(x)

f'(x)=lim[u(x+h)*v(x+h)-u(x)*v(x)]/h h->0

=lim[u(x+h)*v(x+h)-u(x+h)*v(x)+u(x+h)*v(x)-u(x)*v( x)]/h h->0 (Nulladdition)

=lim[u(x+h)(v(x+h)-v(x))+v(x)(u(x+h)-u(x))]/h h->0

=lim[u(x+h)(v(x+h)-v(x))]/h + lim[v(x)(u(x+h)-u(x)]/h h->0

=u(x)*v'(x)+v(x)*u'(x)

Zur Produktregel:

f(x)=u(x)/v(x)=u(x)*v(x)^(-1)

Und nun die Produktregel anwenden:

f'(x)=u'(x)*v(x)^(-1)+u(x)*(-1)*v(x)^(-2)*v'(x)

=u'/v-u/v^2

=u'v/v^2-u*v'/v^2

=(u'v-uv')/v^2

Dabei wurde für die Ableitung von v(x)^(-1) die Kettenregel angewendet. Ich hoffe, die ist bekannt? Der Beweis dazu ist etwas umständlicher. Hier aber die Formel dazu:

h(x)=f(g(x))
h'(x)=f'(g(x))*g'(x)

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mfg specage
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 698
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 15:55:   Beitrag drucken

Hallo,

ich will auch noch ein Beweis der Kettenregel vorstellen:

f(x)=u(x)/v(x) ==> f(x)*v(x)=u(x)

beide seiten differenzieren:

f'v+fv'=u'
f'v=u'-fv'

mit f=u/v ===> f'v=(u'v-uv')/v

===> f'(x)=(u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x))/v(x)²

mfg
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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 680
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 17:08:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

das ist aber die Quotientenregel und nicht die Kettenregel....

Gruß N.
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 700
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 17:25:   Beitrag drucken

Uups, natürlich nur ein Schreibfehler... im Momenmt läuft hier alles drunter und drüber. Ich sehne schon den 19.5. entgegen, dann gehts eine Woche in den Urlaub! Nach Hamburg und Eckernförde...

Sorry noch mal für den Begriffsdreher...

mfg
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natalie
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Mai, 2015 - 11:14:   Beitrag drucken


Ich habe ein aufgabe die ich mit der quotientenregel lösen muss, doch ist mein ergebnis völlig sinnlos.
Kann mir jmd dabei helfen die richtige lösung zu finden?
Die konzentration eines medikaments im blut eines kranken wird mit k (t)= 0, 16t/(t+2)^2 beschrieben (t=zeit in stunden seit medikamenteinnahme)
A ) berechne die momentane änderungsrate und vergleiche mit den ersten 6 minuten
B) zu welchem zeitpunkt ist die konzentration am höchsten? Wie groß? Wann ist die konzentration zur hälfte gesunken?

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