| Autor |
Beitrag |
    
gemuse (gemuse)
Neues Mitglied
Benutzername: gemuse
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 17:09: | 
|
Hi @ all,
hatte am Freitag ne Mathearbeit und war mir nur bei einer Aufgabe nicht sicher:
lim sin(3x)/(x/3)
x->0
Als Grenzwert hab ich 3 raus! Ist das richtig?
Hab mir gedacht um im Nenner x/3 wegzubekommen erweiter ich mit 3 somit hab ich dann:
lim 3 sin(3x)/x
x->0
=> 3*lim sin(3x)/x = 3
x->0
hoffe das ist richtig.
Bitte antwortet mir as quickly as possible =)
gemuse |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1126
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 17:16: |
|
Hi!
Hoffe die Antwort war schnell genug 
Dein Grenzwert ist leider falsch.
Nach der Regel von l'Hospital ist:
3*lim sin(3x)/x
=3*lim(3*cos(3x))
=3*3=9
MfG
C. Schmidt |
gemuse (gemuse)
Neues Mitglied
Benutzername: gemuse
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 17:45: |
|
hmm ok nagut
Aber ich verstehs nicht ganz...
lim sinx/x
x->0
ist ja 1. Dann müsste doch lim sin(3x)/x gleich 1 sein. und somit hätte ich doch 3*1 = 3
|
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1127
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 17:54: |
|
Hi!
Also
lim(x->0) sin(x)/x ist 1, das stimmt.
Nur ist eben lim(x->0) sin(3x)/x nicht 1, sondern 3. Läuft x gegen Null, so gehen Zähler und Nenner gegen 0, also dürfen wir nach der Regel von l'Hospital Zähler und Nenner ableiten und davon den Grenzwert x-> 0 bilden.
lim(x->0) sin(3x)/x
=lim(x->0) (sin(3x))'/(x)'
=lim(x->0) 3*cos(3x)/1
=3*lim(x->0) cos(x)
=3*1
=3
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1128
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 17:58: |
|
Wenn du interessiert bist, könnte ich dir auch noch einen geometrischen Beweis liefern.
MfG
C. Schmidt |
gemuse (gemuse)
Neues Mitglied
Benutzername: gemuse
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 18:16: |
|
ja interessieren würde es mich schon.
das mit der Regel von L'Hospital ham wir zwar in der Schule noch net so richtig gemacht, aber interessieren würds mich schon |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1129
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 12:49: |
|
Ok, dann fang ich mal mit der Regel von l'Hospital an(Ohne Beweise, nur die Regel an sich).
Nehmen wir mal an, dass wir zwei Funktionen f(x) und g(x) gegeben haben und betrachten die Funktion h(x)=f(x)/g(x) mit g(x) ungleich 0.
Jetzt kann es passieren, dass man einen Grenzwert sucht, bei dem sowohl Zähler, als auch Nenner gegen 0 laufen. D.h. lim f(x)=lim g(x)=0
(Dabei kann x gegen ±oo oder eine reelle zahl laufen). Jetzt gilt folgendes:
lim h(x)=lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x)
Du nimmst also einfach die Ableitungen von Zähler und Nenner.
Das war ja bei deiner Funktion oben auch so.
f(x)=sin(3x)
g(x)=x.
h(x)=sin(3x)/x
Dann bildest du die Ableitung und hast
3*cos(3x)/1
Und davon lässt sich der Grenzwert ja leicht berechnen.
Ein weiterer Fall, in dem sich die Regel von l'Hospital anwenden lässt ist, wenn sowohl Zähler, als auch Nenner gegen unendlich laufen.
Z.B. für x->oo bei
h(x)=(x²+3x+2)/(2x²)
Ableitungen bilden:
(2x+3)/(4x)
Nochmal ableiten:
2/4=1/2
Grenzwert ist also 1/2.
Jetzt zeige ich dir noch einen geometrischen Beweis, dass der Grenzwert von sin(3x)/x für x->0 3 ist. Hier erstmal eine Skizze:
Das soll ein Teil des Einheitskreises sein. Wir berechnen drei Flächen.
Kleines Dreieck:
1/2*sin(3x)*cos(3x)
Kreissektor:
3x/(2p)*1²*p=3x/2
Großes Dreieck:
1/2*tan(3x)
Wie man in der Zeichnung sieht folgt daraus:
sin(3x)cos(3x)£3x£tan(3x)=sin(3x)/cos(3x)
Jetzt bilden wir mal die Kehrwerte, daraus ergibt sich:
cos(3x)/sin(3x)£1/(3x)£1/(sin(3x)*cos(3x))
Mal 3*sin(3x):
3*cos(3x)£sin(3x)/x£3/cos(3x)
Sowohl die linke Seite, als auch die rechte Seite gehen für x->0 gegen 3, also muss ich der Term in der Mitte, was genau deine Funktion ist, gegen 3 gehen.
MfG
C. Schmidt
|
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 553
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 15:18: |
|
Hallo Alle Zusammen,
@gemuse:
Christian hat bei seinem geometrieschen Beweis das sog. "Einschlußkriterium" verwendet.
@Christian:
Ein möglicher Beweis der l'hospitalschen Regel lässt sich mit Taylorreihen führen.
Gruß N.
|
