| Autor |
Beitrag |
    
Detlef (detlef01)
Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. März, 2003 - 17:07: | 
|
hallo,
wie kann man den Flächeninhalt einer Ellipse bestimmen?
Detlef |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 488
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. März, 2003 - 18:17: |
|
Welche Ellipse? Eine allgemeine?
Das geht z.B. Durch integration. Auf wunsch kann ich das hier vorführen.
mfg |
Detlef (detlef01)
Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 11:03: |
|
HALLO,
wäre echt super, wenn du das machen würdest! ja, einer allgemeinen Ellipse!
Detlef |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 494
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 12:48: |
|
Ok,
wir haben die Ellipse:
(x2/a2)+(y2/b2)=1
Wir lösen nach y auf:
y=±b*Ö(1-(x2/a2))
wir nehmen nur die positive LÖsung, dann integrieren wir von null bis a (Nulstelle). Wir haben dann exakt ein viertel der Ellipsenfläche, das müssen wir im Hinterkopf behalten.
Dann integrieren wir mal:
ò0 a b*Ö(1-(x2/a2)) dx
b*ò0 a Ö(1-(x2/a2)) dx
Wir substituieren (x/a)=sin(t), ==> dx=a*cos(t) dt
Das alles einsetzen liefert:
b*ò0 a Ö(1-(sin(t)2)) *a*cos(t) dt
vereinfachen:
a*b*ò0 a (cos(t))2 dt
cos(t)2 = (1/2)*(1+cos(2t))
einsetzen:
((a*b)/2)*ò0 a (1+cos(2t)) dt
integrieren liefert:
[t+(1/2)*sin(2t)]
sin(2t) = 2*sin(t)*cos(t)
einsetzen:
[t+sin(t)*cos(t)]
umformen:
[t+sin(t)*Ö(1-sin(t)2)]
nun:
sin(t)=x/a
t=arcsin (x/a)
==>ò0 a b*Ö(1-(x2/a2)) dx=
((a*b)/2)[arcsin(x/a)+(x/a)*Ö(1-(x2/a2))]
in den Grenzen null bis a liefert:
AEllipse=(a*b*p)/4
Nun müssen wir noch mal vier multiplizieren da wir ja die Flächeninhalt A der gesamten Ellipse haben wollen!
==> AEllipse=(a*b*p)
ein wohl bekanntes Ergebniss!
mfg |
Detlef (detlef01)
Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. März, 2003 - 16:08: |
|
vielen dank!
Detlef |
