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Stefan (cptg)
Neues Mitglied
Benutzername: cptg
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Februar, 2003 - 15:51: | 
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Ziemlich knifflige H.A., bitte helft mir !
Ich hab einen Kreis, weiß jedoch nicht seinen Mittelpunkt und den Radius, sondern nur zwei Punkte, die auf dem Kreis liegen C(0/0) und D(24/0). Der Kreis hat eine Tangente, deren Berührpunkt jedoch ebenfalls unbekannt ist; auf der Tangente liegen jedoch 2 Punkte A(-5/17) und B(31/2). Rauskriegen soll ich den Radius des Kreises und den Berührpunkt der Tangente.
Wenn ich den Mittelpunkt des Kreises hätte wär die Aufgabe gelaufen. Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Orthogonalen zur Tangente durch den Berührpunkt und der Orthogonalen zur Strecke C-D durch den Mittelpunkt dieser Strecke.
Oder liege ich da schon falsch ?? Bitte helft mir wenn ihr's draufhabt, ich bin da absolut am Ende ... |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1989
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Februar, 2003 - 16:51: |
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Hi Stefan,
Ich nehme an, dass Dir ein kurzer Lösungshinweis genügt.
Du kannst den Berührungspunkt B auf der Tangente wie folgt
Finden:
Du schneidest die Tangemt t = AB mit der Sekante CD im Punkt S.
Dann ermoiittelst die die Streckenl ängen c = CS und d = DS
G sei das geometrische Mittel der Strecken c und d,
also G = wurzel (c d ).
Trage nun diese Strecke G auf der Tangente t von S aus nach beiden
Seiten hin ab bis B1, bezw. B2 : S B1 = G, S B2 = G.
Es gibt somit zwei Lösungen:
B1 und B2 sind die Berührpunkte des Kreises mit t.
Dann geht´so weiter, wie Du bereits beschrieben hast.
Grundlage dieser Lösung ist der Sekanten-Tangentensatz der
Planimetrie.
Viel Vergnügen bei der Realisation !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 392
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 16:56: |
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Megamath's planimetrisches Verfahren ist zwar geometrisch gut vorstellbar, kann aber bereits schon bis zur Ermittlung des Berührungspunktes ziemlich rechenintensiv sein. Die anschließende Rechnung wäre dann auch nicht einfacher. Bei dieser Angabe gestaltet es sich allerdings etwas günstiger, weil C und D auf der x-Achse liegen.
Versuchen wir mal, diese Aufgabe, wie oft in der Analytik üblich, eben auch "typisch analytisch" (d.h. wir fangen mit der Lösung an) anzugehen:
Kreis k: Mittelpunkt M(m|n), Radius r, also braucht man 3 Beziehungen für diese 3 Größen:
1.: C € k
2.: D € k
3.: Abstand M von t = g(A,B) = r (allg. Berührbedingung)
--------------------------------------
k: (x - m)² + (y - n)² = r²
t (Tangente): k (Steigung) = -12/5; y - 17 = (-5/12)*(x + 5) ->
5x + 12y - 179 = 0
HNF: (5x + 12y - 179)/13 = 0
1.: m² + n² = r²
2.: (24 - m)² + n² = r²
3.: |(5m + 12n - 179)|/13 = r
--------------------------------
1. - 2.: m = 12 (dies entspricht im Prinzip der Mittensenkrechten v. CD)
Aus den restlichen 2 Gleichungen (m = 12 eingesetzt) für n und r folgen nun die beiden Lösungen.
Gr
mYthos
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1991
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 19:52: |
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Hi Mythos,
Ich habe dieselbe Aufgabe mit anderen Ausgangszahlen kürzlich
an einem Freitag - einem 13. - wie üblich mit mehreren Methoden
gelöst und in diesem Forum veröffentlicht.
Vielleicht interessiert es Dich, wie die alte Garde solche Probleme
angeht.
Mit herzlichen Grüssen nach Wien
H.R.Moser,megamath
Ein Kreis soll durch die Punkte A(2/3) und B(6/3) gehen
und die Gerade g mit der Gleichung x + 3y = 9 berühren
1.Methode : Diskriminantenmethode
Lösungskonzept.
Die Mittelpunkte aller Kreise c, welche durch die gegebenen
Punkte A und B gehen, liegen auf der mittelsenkrechten Geraden
m dieser Punkte.
Wir wählen einen beliebigen Kreis aus und schneiden ihn mit der
gegebenen Geraden g in den Punkten S1 und S2 .
Soll nun c die Gerade g berühren, so müssen S1 und S2
zusammenfallen.
Wir erreichen diese Koinzidenz durch Nullsetzen der Diskriminante
einer gewissen quadratischen Gleichung.
Ausführung.
Die Mittelsenkrechte der Punkte A(2/3) und B(6/3) ist zur y-Achse
parallel und hat die Gleichung x = 4.
Für den Mittelpunkt M auf m machen wir daher den Ansatz M(4/v),
wobei v eine zu bestimmende Konstante ist.
Der Radius r des Kreises spielt die Rolle eines Parameters r und ist
eine weitere Unbekannte
Für die Gleichung des Kreises c setzen wir daher an:
(x - 4) ^ 2 + ( y – v ) ^ 2 = r ^ 2……………………………......................(1)..
Wir nützen die Tatsache aus, dass A(2/3) auf c liegt;
es kommt daher:
(2 - 4) ^ 2 + ( 3 – v ) ^ 2 = r ^ 2 , daraus
r^2 = v^2 – 6 v + 13; das kommt davon: heute ist Freitag , der 13. …………(13)
Dies setzen wir in (1) ein; wir erhalten zunächst
x^2 – 8 x + 16 + y^2 - 2 v y + v ^ 2 = v^2 – 6 v + 13 oder
x^2 – 8x + y^2 - 2 v y + 6 v + 3 = 0………………………………………(14)
Nun verwenden wir die nach y aufgelöste Gleichung von g:
y = - 1/3 x + 3………………………………………………………………(15)
Nun ermitteln wir die x-Werte der Schnittpunkte Gerade g / Kreis c,
indem wir y aus (15) in (14) einsetzen; nach starker Vereinfachung
entsteht die quadratische Gleichung in x:
5 x ^2 + 3 * ( v - 15 ) * x + 54 = 0 ………………………………………… (16)
Die Diskriminante delta dieser Gleichung lautet
9 * ( v – 15 ) ^2 – 1080
Setzt man D = 0, damit der Kreis c die Gerade g berühre, so erhält man
eine quadratische Gleichung für v, nämlich:
(v – 15 ) ^ 2 = 120………………………………………………………… (17)
mit den Lösungen
v1 = 15 + wurzel(120)………………………………………………………..(18)
v2 = 15 - wurzel(120)………………………………………………………..(19)
Damit haben wir die y _Koordiinaten der Mittelpunkte
der beiden möglichen Kreise c1, c2 berechnet
Für die Radien erhalten wir nach 13:die Werte
r1 ^ 2 = 268 + 48 * wurzel (30)………………………………………………20)
r1 ^ 2 = 268 + 48 * wurzel (30)………………………………………………20)
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Hi Desasta,
Ich führe Dir eine weitere Methode vor, wie man den Kreis c
finden kann, der durch die gegebenen Punkte A und B geht
und der die gegebene Gerade g berührt
2.Methode :Anwendung des Sekanten – Tangentensatzes
der Planimetrie.
Lösungskonzept
Der Berührungspunkt des gesuchten Kreises c mit der Geraden g sei T.
Wir ermitteln den Schnittpunkt S der Geraden h, welche die Punkte
A und B verbindet, mit der Tangente g.
Auf die Kreissekante h und die Kreistangente g wenden wir den
Sekanten – Tangentensatz an und zwar mit dem Punkt S als Ausgangspunkt.
Nach diesem Satz gilt:
SA * SB = ST * ST
Die Masszahlen der Strecken SA uns SB sind bekannt,
daher auch ihr Produkt.
Damit ist die Tangentenstrecke ST = t bekannt, nämlich
u = wurzel (SA*SB).
Diese Strecke u tragen wir auf g (der Kreistangente) von S aus
nach beiden Seiten ab und erhalten mit den beiden Endpunkten
je die Berührungspunkte der beiden Kreise c1 und c2
Wir wollen uns auf den ersten Kreis c1 konzentrieren!
Im Berührungspunkt T1 errichten wir die Normale n1 auf g
Der Schnittpunkt dieser Normalen mit der am Anfang genannten
Mittelsenkrechten m ist der Mittelpunkt des Kreises c1
Wir wollen uns auf den zweiten Kreis c2 konzentrieren!
Im Berührungspunkt T2 errichten wir die Normale n2 auf g .
Der Schnittpunkt dieser Normalen mit der am Anfang genannten
Mittelsenkrechten m ist der Mittelpunkt des Kreises c2
Durchführung
Die Verbindungsgerade h der Punkte A(2/3) und B(6/3)
ist die Parallele y = 3 zur x-Achse.
Ihr Schnittpunkt mit der Geraden g d.h. mit x + 3 y = 9 ist der
Punkt S(0/3) auf der y-Achse..
Wir benötigen später auch den Schnittpunkt C(9/0) von g
mit der x-Achse.
Die Streckenlänge SA ist 2, die Schneckenlänge (!) SB
{B wie Berta} ist 6,
daraus folgt u = ST = wurzel ( 2 * 6 ) = wurzel ( 12 )
Um diese Strecke u auf der Geraden g von S aus bequem abtragen
zu können, schreiben wir die Gleichung von u in Parameterform
mit S(0/3) als Anfangspunkt.
Als Richtungsvektor verwenden wir den auf die Länge 1
verkürzten (gestauchten) Vektor v = SC = {9;-3}; nach erfolgter
Normierung: v1 = 1/wurzel(10) * {3;-1}.
Gleichung von g: (mit t als Parameter):
x = 3 / wurzel(10) * t ; y = 3 - 1 / wurzel(10) * t
Kontrolle: setze t = 0, und Du bekommst den Punkt S,
setze t = 1wurzel(90), und du hast den Punkt C.
Beachte,dass die Länge der Strecke SC wurzel (90) ist.
Alles o.k.!
Wir berechnen im Folgenden nur den Berührungspunkt T1
des ersten Kreises c1.
Zu diesem Zweck setzen wir t = wurzel (12) ein und erhalten
aus der Geradengeichung in Parameterform, wenn wir t = wurzel(12)
einsetzen ( T = T1 )
xT = 3 * wurzel(6/5) , y T = 3 –wurzel(6/5)
***********************************
De Normale n zu g hat die Steigung m = 3, da g die Steigung
– 1/3 hat.
Eine Gleichung von n lautet daher so:
y – 3 + wurzel(6/5) = 3 * [ x – 3 * wurzel(6/5) ],
setzen wir darin x = 4 ein (Gleichung der Mittelsenkrechten m ),
so erhalten wir die y-Koordinate des Mittelpunktes
des ersten Kreises c1, nämlich
y = 15 – wurzel (120),
******************
ein altbekannter Term!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
….
Hi Desasta,
Als Zugabe führe ich Dir eine weitere Methode vor,
wie man den Kreis c finden kann, der durch die gegebenen
Punkte A und B geht und der die gegebene Gerade g berührt.
3..Methode: Prinzip der Ortskurven
Verwendung der Gleichung einer Parabel.
Lösungsidee
Der Mittelpunkt M des gesuchten Kreises liegt einerseits auf
der schon mehrfach zitierten Mittelsenkrechten m der Punkte A, B
und andrerseits auf der Parabel pa mit dem Brennpunkt in A und der
Geraden g als Leitgerade oder Direktrix, denn M hat von A und
von g je gleiche Abstände.
Die Schnittpunkte von m mit p a ergeben die beiden Mittelpunkte
M1 und M2.
Ermittlung der Parabelgleichung
Den Abstand des laufenden Punktes P(x/y) auf der gesuchten Parabel
von der Leitgeraden g berechnen wir mit der Abstandsformel von Hesse.
Wir bringen die Gleichung von g, die in ihrer impliziten Form
x + 3 y = 9 lautet, auf die Hessesche Normalform, indem wir letztere
auf null bringen und beide Seiten durch wurzel(1^2+3^2) = wurzel (10)
dividieren.
Es entsteht die HNF:
[ x + 3 y – 9 ] / wurzel (10)……………………………………………(I)
Der Abstand des Punktes P(x/y) vom Brennpunkt A ist
Wurzel [(x-2)^2 + (y-3)^2] …………………………………………...(II)
Setzt man die Terme aus (I) und (II) einander gleich,
quadriert und vereinfacht so weit wie möglich, so entsteht,
deus ex machina,
die Gleichung der Parabel:
9 x ^2 + y ^2 – 6 x y – 22 x – 6 y + 49 = 0
**********************************
Schnitt der Parabel mit der Mittelsenkrechten m, deren Gleichung x = 4
lautet, gibt eine quadratische Gleichung in y, nämlich
144 + y ^ 2 - 24 y - 88 – 6 y + 49 = 0 oder einfacher:
y ^ 2 – 30 y + 105 = 0
******************
mit den bereits bekannten Lösungen:
y1 = 15 + wurzel(120)
y2 = 15 - wurzel(120)
für die y-Werte der beiden Mittelpunkte M1 und M2
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Hi Desasta,
Deine Aufgabe ist eine der klassischen Berührungsaufgaben des
berühmten altgriechischen Geometers
Apollonius von Perge (geb.um 262 v.Chr).
Das apollonische Berührungsproblem lautet so:
Wenn von Kreisen, Geraden und Punkten je drei Stücke gegeben sind,
so soll ein Kreis gefunden werden, der durch die gegebenen Punkte geht
(sofern solche vorliegen), die gegebenen Geraden berührt(sofern solche vorliegen)
und die gegebenen Kreise berührt (sofern solche vorhanden sind).
Die Mittelpunkte und Radien der Kreise sind zu konstruieren.
Es gibt 10 solche Aufgaben:
Gegeben sind:
Ein Kreis , ein Punkt, eine Gerade:
Zwei Punkte und eine Gerade
Zwei Punkte und ein Kreis
Zwei Gerade und ein Punkt
Zwei Gerade und ein Kreis
Zwei Kreise und ein Punkt
Zwei Kreise und eine Gerade
Drei Punkte
Drei Gerade
Drei Kreise
Die vorliegende Aufgabe ist die Nummer 2 in der obigen Aufzählung
und von mittlerem bis leichtem Schwierigkeitsgrad..
Die letzte ist wohl die schwierigste.(im allgemeinen hat dieses Problem
acht verschiedene Lösungen !).
In einem letzten Teil werde ich Dir eine konstruktive Lösung der
vorgelegten Aufgabe vorführen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Hi Desasta,
In einem letzten Teil führe ich Dir eine konstruktive Lösung der
vorgelegten Aufgabe vor.
Skizziere auf einem Blatt Papier (Format A4) eine horizontal liegende
Gerade g.
Auf derselben Seite von g wähle 2 Punkte A und B so aus,
dass die Verbindungsgerade h dieser Punkte die Gerade g auf dem
Blatt schneidet. Der Schnittpunkt wird mit S bezeichnet.
Zeichne die Mittelsenkrechte m der Strecke AB.
Wähle einen BELIEBIGEN Punkt W auf m aus.
Dieser Punkt W diene als Mittelpunkt eines Kreises k,
der durch A und B.geht. Zeichne diesen Kreis
und schalte eine Denkpause ein.
Von S aus ist eine (der zwei) Tangenten u an den Kreis k zu legen;
der Berührungspunkt sei U.
Fasse die Strecke SU = s ins Auge und in den Zirkel.
Mit S als Zentrum und s als Radius ist der Kreis c zu ziehen,
der die Gerade g in den Punkten T1 und T2 schneidet.
Einer dieser Punkte ist wahrscheinlich nicht auf dem Blatt.
Nehmen wir den andern, T1 , der auf dem Blatt liegt
Dieser Punkt ist der Berührungspunkt von g mit dem gesuchten Kreis!
Um den Mittelpunkt M1 dieses Kreises zu finden, errichten wir in T1
die Senkrechte zu g, welche die Mittelsenkrechte m in M1 schneidet.
Volà!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 394
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 23:25: |
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Hi,
ich finde die von dir aufgezeigten Praktiken sehr interessant! Mir (aber auch den meisten Schülern) geht es allerdings auch um einen möglichst effizienten (und damit kurzen) rechnerischen Abschluss der Aufgabe.
Mein bereits bewährter (typisch analytischer) Lösungsweg:
1.: (2 - m)² + (3 - n)² = r²
2.: (6 - m)² + (3 - n)² = r²
3.: (m + 3n - 9)² = 10r² (HNF, quadriert)
-----------------------------------------
dieses System lösen...
aus Maus.
1. - 2.: m = 4
2.: 4 + (3 - n)² = r²
3.: (3n - 5)² = r²
----------------------
...
n1 = 15 - 2*sqrt(30) = (rund) 4; n2 = 15 + 2*sqrt(30) = (rund) 26
r1 = .. = (rund) 2,2 ; r2 = .. = (rund) 23
Gr
mYthos
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