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rosa (rosa13)
Neues Mitglied
Benutzername: rosa13
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Februar, 2003 - 20:30: | 
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Hi,
die folgende Aufgabe sieht gar nicht so schwierig aus, aber ich komme nicht weiter:
Man beweise die goniometrische Relation
2 cos 666° - sin 444° - wurzel(3) * cos 444° = 0
Danke
rosa
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 918
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Februar, 2003 - 14:55: |
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cos666°=cos306°=cos(-54)°=cos54°= sin36°
wurzel(3) = 2*sin60° = 2*cos30°
sin444°=sin84°= cos6°; cos444°=cos84°=sin6°
2*cos666° - sin444° - wurzel(3)*cos444°
=
2*sin36° - cos6° - 2*cos30°*sin6°
=
2*sin36° - cos6° - (sin36° - sin24°)
=
sin36° - cos6° + sin24° = (sin36°+sin24°) - cos6°
=
2*sin30°cos6° - cos6°
= (cos6°)*(2*sin30°-1)
= cos6°*(1-1) = 0
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1972
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Februar, 2003 - 15:58: |
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Hi rosa,
Wir setzen zur Abkürzunng u = 222°.
Die Relation lässt sich in einem Zug herleiten:
2 cos 3 u - sin 2 u - wurzel(3) * cos 2u =
2* [ cos 3 u - { ½ sin 2 u + ½ wurzel(3) * cos 2u }] =
2* [ cos 3 u - { sin 30° sin 2 u + cos30° cos 2u }] =
2* [ cos 3 u – cos ( 2 u - 30° )] =
2* [ cos 666°– cos 414° ] = 2 [cos 306° - cos 54°] =
2* [sin36° - cos 54° ] = 0 , bravo !
MfG
H.R.Moser,megamath
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rosa (rosa13)
Neues Mitglied
Benutzername: rosa13
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Februar, 2003 - 14:23: |
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Danke für die Antworten -
ganz schön listig, die Aufgabe!
(wer erfindet so etwas? und wie macht er das?)
@megamath: ich konnte alles gut nachvollziehen!
@Friedrich:
bitte wie kommst Du von
2*cos30°*sin6°
auf
(sin36° - sin24°)
???
Liebe Grüße von rosa
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1973
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Februar, 2003 - 15:04: |
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Hi rosa,
Friedrich Laher wird nichts dagegen haben,
wenn ich an seiner Stelle antworte.
Bekannt ist die Formel
sin a – sin b = 2 cos [½ (a+b)] * sin [½ (a-b)]
Setze a = 36° und b = 24°,
und Du bist am Ziel !* G.
Mit freuundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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rosa (rosa13)
Neues Mitglied
Benutzername: rosa13
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Februar, 2003 - 15:12: |
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Danke mmegamath für die Aufklärung!
Ein Licht nach dem anderen geht auf...
liebe Grüße von rosa |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 920
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Februar, 2003 - 16:36: |
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natürlich nichts dagegen H.R.M.,
und Dein Weg ist natürlch eleganter - nur
hätt ich dann als letzten Schritt
gesehen 306°=-54°, cos(-a)=cos(+a) ...
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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