| Autor |
Beitrag |
    
Detlef (detlef01)
Junior Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Januar, 2003 - 16:16: | 
|
hallo,
wie lassen sich die Additionstheoreme beweisen/herleiten?
sin(a+b)= sina * cosb + sinb * cosa
cos(a+b)=...
Danke detlef |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 876
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Januar, 2003 - 18:42: |
|
Nimm ein 3eck mit h = (Höhe auf c) = 1,
Winkel(h, Seite b) = x, Winkel(h, Seite a) = y
für die Fläche A des 3ecks
gelten
dann 2A = tanx + tany = a*b*sin(x+y)
mit
a = 1/cosy, b = 1/cosx
damit
ist sin(x+y) gegeben, und damit auch cos(x+y),
der
aber auch über den Cosinussatz für die Länge der
Seite c
zu finden wäre:
c² = (tanx + tany)² = a²+b² - 2ab*cos(x+y)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Detlef (detlef01)
Junior Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Januar, 2003 - 16:46: |
|
danke,
ich meine aber, was der beweis dafür ist, dass
sin(a+b) das gleiche ist wie sina*cosb+sinb*cosa!?!?!
außerdem ist mir diese zeile nicht ganz klar:
Fläche: 2A = tanx + tany = a*b*sin(x+y)
Warum 2A...
Danke detlef
|
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 887
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Januar, 2003 - 17:54: |
|
da muß eben noch etwas umgeformt werden
sin(x+y) = (tanx + tany)/(a*b)
sin(x+y) =(sinx/cosx + siny/cosy) *cosy*cosx
Dreiecksfläche = A = h*(tanx + tany)/2 = 1*(tanx + tany)/2
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Detlef (detlef01)
Junior Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Januar, 2003 - 14:18: |
|
jo,
auf die Formel komme ich auch:;
Dreiecksfläche = A = h*(tanx + tany)/2 =
1*(tanx + tany)/2;
aber die anderen beiden Formeln bekomme ich nicht raus:
Fläche: 2A = tanx + tany = a*b*sin(x+y)
(welches ist denn nun die Formel fürs Dreieck, wenn a=1/cosy und b=1/cosx)
Außerdem ist mir das unklar:
c² = (tanx + tany)² = a²+b² - 2ab*cos(x+y)
danke Detlef |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 889
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Januar, 2003 - 15:18: |
|
Seite a = 1/siny
Höhe auf Seite a, ha = b*sin(x+y)
c²=...
das ist der Cosinussatz. War der noch nicht Stoff?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
elsa (elsa13)
Neues Mitglied
Benutzername: elsa13
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. Januar, 2003 - 18:12: |
|
Hi Detlef,
mit Hilfe einer einfachen Skizze am Einheitskreis!
Elsa
 |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 829
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. Januar, 2003 - 18:49: |
|
Hi Detlef
Falls du schonmal was von komplexen Zahlen gehört hast, gehts noch einfacher:
cos(a+b)+i*sin(a+b)=e^(i*(a+b))
=e^(i*a)*e^(i*b)
=(cos(a)+i*sin(a))(cos(b)+i*sin(b))
=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)+i*[cos(a)*sin(b)+sin( a)*cos(b)]
Jetzt einfach Real- und Imaginärteil der ersten und letzten Zeile vergleichen und du hast auch deine beiden Additionstheoreme.
MfG
C. Schmidt
|
Detlef (detlef01)
Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Januar, 2003 - 15:08: |
|
ahh, alles klar, jetzt hat es geklickt!(Mit der zweiten Skizze)
Also mit komplexen Zahlen habe ich noch nicht gearbeitet, wer ich mich jetzt mal mit beschäftigen! Eine Frage habe ich jetzt trotzdem schon, was hat die Zahl e damit zutun?
Danke Detlef
|
Detlef (detlef01)
Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Januar, 2003 - 15:23: |
|
hat sich schon erledigt,
das ist die eulersche Formel:
e^ip=cos p+sin p.
ist die formel nur für komplexe zahlen korrekt?
danke Detlef |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 830
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Januar, 2003 - 16:55: |
|
Hi Detlef
Dass die Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen sinus und cosinus etwas miteinander zu tun haben, siehst du am besten an der Reihenentwicklung.
e^ip=cos p+sin p.
ist die formel nur für komplexe zahlen korrekt?
Kleiner Fehler in der Formel:
e^(ip)=cos(p)+i*sin(p)
Also p ist normalerweise eine reelle Zahl.
MfG
C. Schmidt |
Detlef (detlef01)
Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Januar, 2003 - 13:09: |
|
danke,
meine frage ist jetzt noch, wann kann man die komplexen zahlen für einen beweis nutzen und wieso kann man sie nur für den beweis des additionstheorem nutzen und nicht die "normalenzahlen"??
Die Eulersche Formel gilt nur für die komplexen zahlen?
Danke Detlef |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 835
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Januar, 2003 - 13:25: |
|
Hi Detlef
Du kannst die komplexen Zahlen immer dann für einen Beweis nutzen wenn es einen Sinn macht. Bei diesem Fall hier ist es halt mit den komplexen Zahlen ganz besonders einfach die Additionstheoreme zu beweisen, weil man im Prinzip nur rechnen muss. Du kannst das natürlich auch so machen wie oben beschrieben, mit ein bißchen Geometrie halt. Dann hast du nur die "normalen" reellen Zahlen.
Zur Eulerformel:
e^(ip)=cos(p)+i*sin(p)
Wie oben schon gesagt setzt du hier für p normalerweise reelle Zahlen ein. Wäre p komplex, zum Beispiel p=a+i*b, dann könntest du ja wieder vereinfachen:
e^(ip)=e^(i(a+ib))=e^(ia-b)=e^(ia)/e^b
Hier ist ja a und b reell.
Ist p ein Vielfaches von p, so kommt am Ende eine reelle Zahl raus. Beispiel:
p=5p
e^(i*5p)=cos(5p)+i*sin(5p)
=-1
MfG
C. Schmidt |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 898
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Januar, 2003 - 10:51: |
|
Ich wär halt etwas vorsichtig:
um
auf die Rechenregeln für komplexe Zahlen,
was
die Winkel betrifft, zu kommen,
müssen
die Additionstheoreme schon bekannt sein!!
(
oder wie sonst sollte man feststellen können,
daß Winkel des Produktes = Summe der FaktorWinkel gilt ?
)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Detlef (detlef01)
Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Januar, 2003 - 12:41: |
|
hallo,
vielen dank für eure antworten, es hat mir viel geholfen!
Danke Detlef |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 843
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Januar, 2003 - 15:21: |
|
Hi Friedrich
Dein Einwand ist schon korrekt. Man kann soweit ich weiss die Funktionalgleichung über das sogenannte Cauchyprodukt herleiten. Und zwar handelt es sich hierbei um folgendes:
Für zwei absolut konvergente Reihen an und bn gilt:
Soo n=0 an * Soo n=0 bn=Soo n=0 Sn k=0 akbn-k
Betrachten wir die Exponentialreihe für komplexe Zahlen z und w (Die Exponentialreihe ist absolut konvergent):
ez*ew=Soo n=0 zn/n! * Soo n=0 wn/n!
=Soo n=0n} zk/k!*wn-k/(n-k)!
=Soo n=0n} [n über k]*zk*wn-k
Soo n=01/n!*(z+w)n
=ez+w
Wenn man die Funktionalgleichung erst herleiten will und daraus die Additionstheoreme ist das natürlich insgesamt schwieriger als anders herum 
Ich dachte mir halt nur, dass ich die Potenzgesetze voraussetzen darf, schließlich beweist man Potenzgesetze im reellen in der Schule ja auch nicht(jedenfalls haben wir das nicht gemacht, wäre auch zu schwer gewesen).
MfG
C. Schmidt |
