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carolin (catrin)
Neues Mitglied
Benutzername: catrin
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Januar, 2003 - 19:27: | 
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a) Eine Parabel 2. Ordnung schneidet die x-Achse in den Punkten N1 (1;0) und N2(5;0) und verläuft durch den Punkt Q(4;1,5). Bestimmen sie die Gleichung der Parabel. Gegeben ist die Parabel P von f mit f(x) = -0,5x2 +3x - 2,5
b) Bestimmen sie den Scheitelpunkt P. Weisen sie nach, dass P symmtrisch zu der Graden mit der Gleichung x =3 verläuft.
c) Zeigen sie, dass die Grade mit der Gleichung y = -x+5,5 die Parabel P berührt. Bestimmen sie die Koordinaten des Berührpunktes.
vielen Dank
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 865
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 10:26: |
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a) wenn von einer Parabel 2ter Ordnung, also einer Quadratischen Funktion, die Nullstellen bekannt sind, hier x1=1 und x2 = 5,
kann
ihre Gleichung immer
in der Form f(x) = a*(x-x1)*(x-x2)
angegeben
werden. Nun ist a noch so zu bestimmen, das f(4)=1,5 gilt,
also
a*(4-1)*(4-5)=1,5 = -3a; a = -0,5,
somit
f(x) = -(x-1)*(x-5)/2 = -(x²-6x+5)/2 = -0,5x² + 3x -2,5
wie
behauptet.
b) wenn der Scheiterlpunkt S(X; Y) ist
dann
Lautet die Gleichung
| | | f(x) = | Y + a*(x-X)² | | f(x) = | Y+a*X² | - 2*a*X*x | | + a*x² | | damit das mit | | f(x) = | -2,5 | + 3x | | - 0,5x² | | übereinstimmt | | müssen | Y+a*X²=-2,5 | -2*a*X = 3 | | a=-0,5 | | gelten |
aus
a=-0,5, -2aX = 3 <==> X = 3
X=3, Y+a*X² = -2,5
<==>
Y-4,5 = -2,5 <==> Y=7
<==>
Scheitelpunkt S(3; 7)
zu
c)Löse die Gleichung f(x) = -x+5,5;
sie
Wird nur eine Lösung haben, daher schneidet die
Gerade P nicht. die Lösung der Gleichung ist die x-Koordinate des Schnittpunktes.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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carolin (catrin)
Neues Mitglied
Benutzername: catrin
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 15:38: |
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kannst du mir b) und c) mal bitte bisschen ausführlicher erklären? Ich verstehe nicht wie du auf die Zahlen und Formeln im Kästchen gekommen bist, danke |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 867
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 16:49: |
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die "Normalparabel", f(x)=x², hat S(0 ; 0)
auch "vergrößert", g(x)=a*x²,hat sie S(0 ; 0)
wird sie nun um X nach rechts verschoben,wird
daraus
gX(x) = a*(x - X)² mit S(X ; 0 )
und
um Y nach oben verschoben
wird's
gX,Y(x) = Y + a*(x - X)² mit S(X ; Y)
die
2te Zeile der Tabelle ist die ausmultiplizierte 1te Zeile
die
3te Zeile ist die gewünschte Funktion
die
4te Zeile ein sognannter Koeffizientenvergleich:
2te Zeile mit 3ter Zeile
| | | x² | hat den Koeffizienten | -0,5 | der = a | sein muß | | x¹ | hat den Koeffizienten | 3 | der = -2*a*X | sein muß | | x0 | hat den Koeffizienten | -2,5 | der = Y+a*X² | sein muß |
c) Eine Gerade und eine Parabel haben
entweder
A) garkeine Punkte gemeinsam
oder
B) berühren einander in einem Punkt - Gerade = Tangente
oder
C) 2 Punkte, schneiden einander also.
Das
überprüft man, indem man die x sucht,
für
die Parabel(x) = Gerade(x) gilt .
Hat
diese Gleichung keine Lösung,
dann
ist es Fall A), bei einer B), bei 2 C)
-0,5x² +3x -2,5 = -x + 5,5 | *(-2)
<==>
x² - 6x + 5 = 2x - 11
<==>
x² - 8x +16 = 0 = (x-4)²
die
Gleichung hat also nur die Lösung x=4,
der
Berührungspunkt ist (berechnet auf der Geraden)
x = 4, y = -4 + 5,5 = 1,5
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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