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Ingo U. (ingo_u)
Neues Mitglied
Benutzername: ingo_u
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. November, 2002 - 12:21: | 
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Kann mir bitte jemand helfen? Ich komme bei diesen Aufgaben einfach nicht weiter!!!
1. Wie kann man aus der Dezimaldarstellung einer reellen Zahl entnehmen, ob Sie rational oder irrational ist?
2. Betrachten Sie die Summe sn=2+4+6+...+2*n, n ist Element in N*, d h. die Summe der ersten n geraden Zahlen.
a) Berechnen Sie s1, s2, s3,... so lange, bis sie einem allgemein gültigen Ausdruck für sn vermuten können.
b) Beweisen Sie diese Vermutung durch vollständige Induktion.
3. Untersuchen Sie auf Konvergenz
a) an=1/(wurzel(n+1))
b) an=(n²+1) / (3n²+7)
4. Zeichnen Sie den Graphen der Relation R={(x,y)| |y|=|x|}RxR
Wie zeichnet man diesen Graphen???
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 719
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. November, 2002 - 13:34: |
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1)sie ist rational wenn sie abbricht oder ab einer bestimmten Stelle periodisch ist.
Wenn sie periodisch ist,
bilden die V Ziffern vor der Periode eine rationale zahl,
die P Ziffern der Periode bilden eine Rationale Zahl Z,
und deren endlose Wiederholung die Summe einer uendlichen geometrischen Reihe,
mit
dem Anfangsglied Z*10-V-P und
dem Faktor 10-P
deren
Summe ein Rationaler Ausdruck von Z,V,P ist
was
zusammen mit den V Ziffern eine Rationale Zahl ergibt.
2)
2 2 = 1 + 1
4 6 = 2 + 4
6 12= 3 + 9 ... n + n^2
8 20= 4 +16
na, dann beweis mal. Die Summenformel der Arithmetischen Reihe kanntes Du doch?
Und das Prinzip der Vollständigen Induktion auch
3) Gemeint ist wohl die Konvergenz der Summe,
denn daß für a) an gegen 0 geht und für b) an gegen 1/3 ist ja klar?
a) Dir ist bekannt, daß 1 + 1/2 + 1/3 + ... nicht konvergiert? Also auch 1/2 + 1/3 + ... nicht
Wie steht es jetz nun mit den an ab 1/Wurzel(3), verglichen mit 1/2, 1/3, ... ?
b) oben habe ich schon gesagt, daß für an=(n²+1)/(3n²+7) sich an immer mehr 1/3 nähert
kann die Summe also konvergieren?
4) |+a| = |+a| = |-a|
für jedes x gibt es also 2 y Werte für die |y| = |x| gilt
der
Graphs besteht also aus y = x und y = -x
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Ingo U. (ingo_u)
Neues Mitglied
Benutzername: ingo_u
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 07:04: |
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Zu 2.
Für die Summe sn=2+4+6+..+2+n gilt sn=n+n²
I. Induktionsanfang
Zu zeigen: s1=2+2²=6
Sk=2+4+6+...+2k=k+k²
Sk+1=2+4+...+2k+1=k+(k+1)²
Sk+1=sk+(2k+1)
=k+k²+2k+1
=3k+k²+1
=k²+3k+1
=k+(k+1)²
Stimmt das so???
Zu 3a)
Vermuteter Grenzwert:0
|an-0|< ?
|1 / (wurzel(n+1)) | < ?
wurzel(n+1) > 1 / ?
n+1 > (1/?)²
n > (1/?)²-1
Zu 3b)
Vermuteter Grenzwert: 1
|an-1| < ?
|(n²+1)/(3n²+7) ? 1| < ?
|(-2n²-6)/(3n²+7)| < ?
(2n²-6)/(3n²+7) < ?
Und wie löse ich das jetzt nach ?n? auf??? Besser gesagt, stimmt mein Lösungsansatz so eigentlich???
Zu 4.) Soll ich dies in ein Koordinatensystem zeichnen? Was soll ich bei dieser Aufgabe eigentlich zeichnen? Die verstehe ich überhaupt nicht!
Neue Aufgabe:
Berechnen Sie in den nachstehenden arithmetischen Folgen jeweils das n-te Glied:
a) 2;-0,5;-3;... für n=18
Meine Lösung: a=2+(18-1)*(-3)=-49
b) ?10;-3;+4;... für n=11
Meine Lösung: a=-10+(11-1)*7=60
Stimmt das so? oder habe ich da auch irgendwo einen Denkfehler???
Gegeben seien zwei Umgebungen U?1(a1) mit ?1=2 und a1=-3/2 und U?2(a2) mit ?2=5/4 und a2=3/4.
a) Geben Sie die Mengen und Intervallschreibweise für diese beiden Umgebungen an.
Meine Lösung:
U2(-3/2)=]-3 ½;1/2[
U2(-3/2)={x|-3 ½<x<1/2}
U5/4(3/4)=]-1/2,2[
U5/4(3/4)={x|-31/2<x<2}
b) Bilden Sie den Durchschnitt dieser beiden Umgebungen, Angaben in Mengen- und Intervallschreibweise.
Meine Lösung: U2(-3/2) ? U5/4(3/4)=
Aber wie geht es dann weiter? Wie bilde ich diesen Durchschnitt?
c) Ist der Durchschnitt wieder eine Umgebung? (Woran erkenne ich, ob das eine Umgebung ist oder nicht???)
Gegeben sind die arithmetischen Folgen (an) und (bn).
Weisen sie nach, dass die Folge (an+k*bn) ebenfalls eine arithmetische Folge ist, wobei k irgendeine reelle Zahl sein soll.
Wie fange ich da an???
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Ingo U. (ingo_u)
Neues Mitglied
Benutzername: ingo_u
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 05:05: |
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KAnn sich meine Aufgaben bitte noch mal jemand anschauen!
ICh möchte ja keine fertigen Lösungen - sonst weiß ich es bei der nächsten Aufgabe ja wieder nicht, was ich machen soll! Aber ich weiß nicht, ob meine REchenwege richtig sind und bei den anderen Aufgaben weiß ich nicht, wo ich anfangen soll!
Schon malen vielen Dank! |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 305
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 06:08: |
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Hi,
Bei Deiner Summenformel hast an Gedankenfehler:
2 + 4 + 6 ...
Du summierst die Geraden Zahlen und keine Quadratzahlen:
S1 = 2 = 2 = 2
S2 = 6 = 2 + 4 = 2 * 3
S3 = 12 = 2 + 4 + 6 = 3 * 4
S4 = 20 = 2 + 4 + 6 + 8 = 4 * 5
S5 = 30 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 5 * 6
Sn = n*(n + 1)
S<1> = 1 * (1 + 1) | ok, w.A.
S<n> = n * (n + 1)
S<n+1> = (n + 1)(n + 2)
n * (n + 1) + 2(n + 1) = (n + 1)(n + 2)
(n + 2)(n + 1) = (n + 1)(n + 2)
quod erat demonstrandum
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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