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kathrin (kathrin130885)
Neues Mitglied
Benutzername: kathrin130885
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. November, 2002 - 08:42: | 
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1.Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=Wurzel(25-x^2)
a)berechnen sie f`
b)stellen sie die Gleichungen der Tangente t und der Normalen n an den Graphen von f im Punkt P(a/b) auf. Was fällt bei der Gleichung für die Normale auf??
2.Aufgabe:
In einem betriebswirtschaftlichen Modell wird angenommen, dass beim verkauf von x stück eines Wirtschaftsguts der Gewinn pro Stück
1/(1+Wurzel(x)) Geldeinheiten beträgt.
Zeigen sie, dass der Gesamtgewinn mit wachsender Stückzahl zunimmt. |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 667
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. November, 2002 - 10:27: |
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Eine Verkettung, f(g(x))
wird
differenziert indem man
ersteinmal
so
differenziert, als währe g
eine
einfache Variable: u(g) = f'(g)
dann
wird g(x) differenziert: v(x) = g'(x)
dann
gilt [f(g(x)]' = u(g)*v(x)
oft
auch [f(g(x)]' = f'(g)*g'(x)
geschrieben.
1a) für f(x) = Wurzel(25 - x^2)
ist
f(g) = Wurzel(g), f'(g) = 1/[2*Wurzel(g)]
g(x) = 25 - x², g'(x) = -2x
also
f'(x) = -x / Wurzel(25 - x²) .
1b)
Die
Gleichung der Tangente, t(x,p) an f(x) im Punkt x=p
lautet
t(x,p) = f(p) + (x-p)*f'(p), die der Normalen n(x,p) = f(p) - (x-p)/f'(p)
wenn die Tangente den Punkt (a / b) enthalten soll muß t(a, p) = b gelten
also
t(a, p) = f(p) + (a-p)*f'(p) = b, die nach p aufgelöst werden muß
Wurzel(25 - p²) + (a-p)*[-p / Wurzel(25 - p²) ] = b ; mult. mit Wurzel()
(25-p²) + (a-p)*(-p) = b*Wurzel(25 - p²); links fällt p² weg
25 - a*p = b*Wurzel(25 - p²) ; quadrieren
25² - 50a*p + a²*p² = b²*(25 - p²);
p²*(a²+b²) - 50a*p + (25²-25b²) = 0
p² - 50a*p/(a²+b²) + (25²-25b²) = 0
p = [25a ±Wurzel( 25²a² - (a²+b²)(25²-25b²) ) ] / (a²+b²)
p = [25a ±Wurzel( +25a²b² - b²(25²-25b² ) / (a²+b²)
p = [25a ±b*Wurzel( 25a² - 25² + 25b² ) / (a²+b²)
p = 5[5a ±5b*Wurzel(a²+b²-5²) ] / (a²+b²)
damit
kannst Du jetzt, durch einsetzen der p in die Gleichung für t(x,p)
die
Gleichungen der beiden Tangenten aufstellen.
Durch
das ganze mühsame Verfahren könntest Du Dich nun auch für die Normale
quälen,
aber ein Tip:
f(x) = Wurzel(25 - x²)
ist
ein Kreis, Radius = 5, Mittelpunkt x=y=0
und
aus einem Punkt gibt es für einen Kreis
doch
nur eine Normale, sie geht, egal, wo (a / b)
ist
Durch den Kreismittelpunkt, auch, wenn sie
den
Kreis 2mal schneidet,
die
mühseelige Gleichungsauflösung also
zwei
Lösungen für p ergäbe.
Die
Gleichung der Normalen ist einfach n(a,b) = x*(b/a);
Das
mit f(x) gleichsetzen ergäbe die 2 Schnittpunkte,
aber nach denen ist ja nicht gefragt.
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2)
GesamtGewinn = x*GewinnProStück
g(x) = x * 1 / [1 + Wurzel(x)]
zu
zeigen ist, das g(x) mit steigendem x auch steigt,
also
df(x) / dx = f'(x) > 0 gilt
es
muß also die Ableitung gebildet werden
Quotientenregel: (u/v)' = (u'v - uv')/v²
mit
u = x, u' = 1,
v = 1+Wurzel(x), v' = 0 + 1 / (2*Wurezl(x))
da
imer v² >= 0 gilt und nur das Vorzeichen von g(x)
interessiert,
genügt es
für T = u'v - uv' zu überprüfen ob es immer > 0 ist
T = u'v - uv' = 1*(1+Wurzel(x)) - x / (2*Wurzel(x))
2*T*Wurzel(x) = Wurzel(x) + x - x = Wurzel(x)
2*T = 1; T = 1/2 IST ALSO IMMER > 0,
der
Gesamtgewinn steigt also mit der Stückzahl
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermasßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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