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F(x)=cos²x

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bella
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Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 15:43:   Beitrag drucken

kann mir einer bei der untersuchung der funktion
f(x)= cosx*cosx helfen? ich weiß nicht, wie ich hier die null- bzw. extremstellen berechnen soll, geschweige denn, wie der graph zu zeichnen ist.
vielen dank schon mal im voraus.
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Fermat
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Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 16:08:   Beitrag drucken

ich bin zwar erst in der 10, aber eigentlich hat doch die Funktion den größten y-wert wenn x=n*pi wobei n:0,2,4,6,8,10... bzw. n:1,3,5,7,9... nämlich 1 ist. Falls ich mich irre, dann erklärt es mir bitte auch
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Thomas
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Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 16:22:   Beitrag drucken

f(x)=cos²(x)=cos(x)*cos(x)

Ist immer dann gleich Null, wenn x einen Wert annimmt, bei dem der cosinus=0 ist.
Also bei PI/2,3/2PI,5/2PI,.....also für
k*(PI/2), k.....ungerade (auch negative !)

Extremstellen:
f'(x)= -cos(x)sin(x)-sin(x)cos(x)= -2sin(x)cos(x)

f'(x)=0
--> genau dann, wenn sin(x), oder cos(x) (oder beide gleichzeitig) gleich Null sind.

Für cos(x) haben wir uns das schon oben überlegt. Für sin(x) gilt:

sin(x)=0 <=> 0,PI,2PI,3PI,.....
k*PI.......k aus den ganzen Zahlen

Den Graph zeichnest du am besten mit einer Wetetabelle.

mfg, Tom
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Heiko (Heiko)
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Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 16:28:   Beitrag drucken

Moin,

mit der Extremstelle hat Fermat recht: n*pi. Die Nullstellen liegen bei (n*pi)/2. Der Graph verläuft also eigentlich genauso wie der von cos(x), nur dass man bei cos(x)^2 keine negativen y-Werte erhält. Der Graph schneidet also die x-Achse nicht und geht dann nicht in den neg. Bereich, sondern tangiert sie dort nur und kehrt dann wieder in den positiven Bereich zurück.
Das kannst du dir aber bestimmt auch noch einmal in dem Funktionsplotter angucken...

Falls noch Unklarheiten sind oder du Rechenwege brauchst, schreib noch mal. Aber die Nullstellenberechnung und Extremstellenberechnung läuft hier wie bei jeder anderen Funktion auch:

- die Nullstelle berechnest du einfach, indem du den Term =0 setzt. Dadurch erhälst du n*(pi/2) mit n element Z.
- für die Extremalstellen die erste Ableitung berechnen: f'(x)= -2sin(x)*cos(x). Diese dann gleich null setzen. Nennen wir die Ergebnisse x1, x2 usw.
- jetzt setzen wir unseren x1, x2 usw. in die 2. Ableitung ein [f''(x)= 2-4*cos(x)^2]. Wenn f'' > 0 ist, so haben wir ein lok. Min., bei f'' < 0 ein lok. Max..


Gruss

Heiko (basshoshi)
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lule
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Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 22:28:   Beitrag drucken

oh danke, ihr seid die größten schätze überhaupt. vielen dank!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
lule

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