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Jeanine (jeanine)
Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. August, 2002 - 10:14: | 
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Betrachten Sie die Funktion f: x--> 1 + x/1 + x²/2 ++...... + x^n/n
a) Bilden Sie die ersten drei Ableitungsfunktionen.
b)Stellen Sie nun eine Vermutung auf für die n-te Ableitungsfunktion.
Anleitung: Beachten Sie bitte, daß nach Definition von "n-Fakultät" gilt:
n = 1*2*3....n und 0=1 |
Thomas (johnnie_walker)
Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. August, 2002 - 11:56: |
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Hallo,
n! (=n Fakultät) bedeutet, das Du das Produkt der ersten n Zahlen bildest.
Beispiel :
5! = 1*2*3*4*5 =120
Außerdem setzt man 0!=1
zu a)
f(x)=1+(1/1)*x+(1/2)*x2+(1/3)*x3+...+(1/n)*xn
f´(x)=0+1*(1/1)*x0+2*(1/2)*x1+3*(1/3)*x2+...+n*(1/n)*xn-1
=0+1+x+x2+...+xn-1
Beobachtung : bei der 1. Ableitung fällt das erste Glied weg !
f´´(x)=0+0+1+2*x1+3*x2+...+1*(n-1)*xn-2
Beobachtung : bei der 2. Ableitung fallen die ersten 2 Glieder weg !
f´´´(x)=0+0+0+2+2*3*x+...+1*(n-2)*(n-1)*xn-3
Beobachtung : bei der 3. Ableitung fallen die ersten 3 Glieder weg !
zu b)
Vermutung : bei der n-ten Ableitung fallen die ersten n Glieder weg.
Die Funktion besteht aus n+1 Gliedern (die n Glieder mit x1 bis xn + die erste 1)
Also fallen nach unserer Vermutung alle bis auf das letzte Glied weg.
Das letzte Glied ist n-mal abgeleitet worden und sieht dann so aus : 1*2*3*...*(n-2)*(n-1)*x
Die Faktoren vor dem x sind also das Produkt der Zahlen von 1 bis (n-1). Das kann man auch so schreiben (vgl Fakultät)
fn Striche= (n-1)! * x
Gruß
Thomas
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Thomas (johnnie_walker)
Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 50
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. August, 2002 - 12:21: |
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Oh, kleiner Fehler :
Das n-te Glied ist n mal abgeleitet worden, also steht da nicht x1, sondern x0=1. Die n-te Ableitung heißt also nur :
(n-1)! |
