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meli26623
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. November, 2010 - 20:24: | 
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Also ich hab da n *winziges* Problem mit ner Aufgabe
bei der ein zylinder (mit h=2r) das gleiche volumen hat wie eine kugel und man dann den oberflächeninhalt in abhängigkeit von dem zylinderradius berechnen muss.
und ich weiß ja dass die oberfläche von ner kugel O= 4*pi*r² ist.
ich dachte vlt ans umstellen der gleichung h=2r
also r=h/2
aber dann komm ich nicht weiter  |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 3426
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. November, 2010 - 08:46: |
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das Zylindervolumen ist also
r²pi*2r = 2*r³pi
und
das muß gleich dem KugelVOLUMEN 4*R³pi/3 sein;
du mußt also ersteinmal den Kugelradius R durch r ausdrücken.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Polya]
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gofal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. November, 2010 - 05:51: |
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Nicht schrecken, daß der Text so lange ist, ich versuche es nur möglichst ausführlich zu erklären!
Ziel der Aufgabe ist es, eine Formel für die Oberfläche der Kugeln anzugeben. Da ist die Formel O=4*pi*rKugel² genau richtig. Nur weißt du leider das rKugel in dieser Formel nicht.
Es ist aber noch was anderes gegeben: nämlich daß die Kugel das gleiche Volumen wie ein Zylinder mit h=2rZylinder hat.
An dieser Stelle fällit gleich auf, daß ich nicht einfach nur r für Radius schreibe, sondern ganz klar zwischrn rKugel und rZylinder unterscheide. Beide Figuren haben jeweils einen Radius und die beiden Radien sind aber durchaus verschieden groß. Würde man hier jeweils nur den Buchstaben r verwenden, würde das zu Verwirrungen und Fehlern führen - eine Stolperfalle in diesem Beispiel.
Also: das Volumen des Zylinders
VZylinder = rZylinder²*pi*h = rZylinder²*pi* 2*rZylinder = 2 * rZylinder³ * pi
soll gleich dem Volumen der Kugel sein
VKugel = 4/3 * pi * rKugel³
Diese beiden Volumina sollen gleich sein, also können wir ihre Formel gleichsetzten
VZylinder = VKugel
2 rZylinder³ * pi = 4/3 * pi * rKugel³
hier kann man das pi wegdividieren und die gleichung durch 4 und mal 3 rechnen
3/2 * rZylinder³ = rKugel³
die dritte Wurzel ziehen
3-te-wurzel ( 2/3) * rZylinder = rKugel
jetzt wissen wir, wie groß der Kugel-Radius (abhängig vom Zylinder-Radius) sein muß, damit deren Volumina gleich sind. Nun können wir diesen Kugel-Radius in die Oberflächenformel einetzen:
O = 4 * pi * rKugel² = 4 * pi * ( 3te-wurzel(2/3) * rZylinder ) ²
= 4 * 3te-wurzel (4/9) * pi * rZylinder² |
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