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Beitrag |
    
rebekka
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2008 - 19:26: | 
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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufälllig ausgewählte Person am 1. Januar Geburtstag hat?
Es ist dabei anzunehmen, dass jeden Tag gleich viele Kinder geboren werden/wurden.
Mir sind zwei Lösungen eingefallen, die aber zu verschiedenen Ergenissen führen.
1) In einem Zeitraum von 4 Jahren gibt es genau 1 Schaltjahr. in diesem Zeitraum gibt es daher 4*365 + 1 Tage, das sind 1461 Tage.
Da es in diesem Zeitraum 4-mal den 1. Januar gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit 4/1461.
2. Lösung (als mehrstufiges Experiment)
In der ersten Stufe wird gefragt, ob die Person in einem Schlatjahr geboren ist oder nicht.
die Wahrscheinlichkeit für ein Schaltjahr beträgt 1/4, die für ein normales Jahr 3/4.
Im 2. Schritt ist die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, dass der Geburtstag der 1. Januar ist. in Schaltjahren ist dies 1/366, in anderen Jahren 1/365
Die Gesamtwahrscheinlichkeit (mit einem Baum) ist: 1/4 * 1/366 + 3/4 * 1/365 = 1463/534360
Meine Frage: welcher Lösungsweg ist falsch und warum? |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2008 - 21:34: |
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Hallo Rebekka,
auf den ersten Blick eine verblüffende Diskrepanz. Aber der zweite Blick verschafft Klarheit: Deine zweite Lösung ist falsch, wenn auch nur im Milliardstel-Bereich.
Der Grund dafür ist, dass die Wahrscheinlichkeit, in einem Schaltjahr Geburtstag zu haben, eben nicht genausogroß ist wie in einem normalen Jahr, sondern ein ganz klein wenig größer. Schließlich hat ein Schaltjahr ja 366 Tage und nicht nur 365.
Die richtige Rechnung für deine 2. Lösung muss daher lauten:
366/1461 * 1/366 + (3*365)/1461 * 1/365
und das ergibt nach Kürzen schlicht und ergreifend 4/1461.
Viele Grüße und frohe Weihnachten,
Jair |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2008 - 21:36: |
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PS: Übrigens haben wir beide jetzt nicht berücksichtigt, dass jedes 100. Jahr ein Schaltjahr ausfällt (mit Ausnahme jedes 400. Jahres) 
Aber ich denke, so genau wolltest Du es auch wieder nicht wissen... |
Marco1 (Marco1)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Dezember, 2008 - 22:12: |
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Wieso berücksichtigt man das Schaltjahr ? |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2008 - 00:24: |
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Ich denke, weil Rebekka es berücksichtigen wollte und es ja eine kleine Rolle spielt, ob man es berücksichtigt oder nicht (siehe ihren Beitrag). Außerdem war die scheinbare Diskrepanz doch auch interessant. Offenbar wollte sie jedoch nicht die Spezialfälle (alle 100 bzw. 400 Jahre) berücksichtigen. Falls sie das nur vergessen haben sollte, müssen wir eben nochmal nachrechnen. |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2008 - 09:26: |
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Es hat mir doch keine Ruhe gelassen, ich musste mich noch um die genauen Werte kümmern
Wenn man also die 100- und die 400-Jahr-Regelung mit berücksichtigt, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit 400/146.097.
Begründung: In 400 Jahren gibt es 400 mal den 1.Januar. Es handelt sich insgesamt um 3 Jahrhunderte mit 24 Schaltjahren und 1 Jahrhundert mit 25 Schaltjahren. Das macht (3*24+1*25)*366 Tage + 303*365 Tage.
Hier die Wahrscheinlichkeiten zum Vergleich in dezimaler Form:
ohne Berücksichtigung von Schaltjahren: 1/365 (ungefähr 0,002739726)
Rebekkas verkürztes Verfahren: 4/1461 (ungefähr 0,002737851)
vollständiges Verfahren: 400/146.097 (ungefähr 0,002737907) |
rebekka
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Dezember, 2008 - 18:39: |
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die Frage lautetete: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählte Person... usw. Eine, die am 1.1.1900 geboren wurde, wäre jetzt 108 Jahre alt und wahrscheinlich tot. das Jahr 2000 war ein Schaltjahr, also brauchen wir uns wohl um diese Feinheit nicht zu kümmern. aber danke für eure Hilfe!
Wenn man das ganze historisch betrachten will, muss man auch die gregorianische Kalenderreform berücksichtigen. Da fehlten irgendwann im Oktober 10 Tage. Und Vorher war die Schaltjahrregelung eine andere. Außerdem hat es kein Jahr 0 gegeben. Geht es noch komplizierter? |
Marco1 (Marco1)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Dezember, 2008 - 14:07: |
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Kann das einmal richtig erklären,
wieso man so wie ganz oben beschrieben , vorgeht.
VG
(Beitrag nachträglich am 29., Dezember. 2008 von marco1 editiert) |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Benutzername: Jair_ohmsford
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2008 - 12:16: |
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Hallo lieber Marco,
wo liegt denn eigentlich Dein Problem genau? Ich fasse die Rechnung jetzt noch einmal zusammen. Sollte ich dann Deine Fragen nicht beantwortet haben, schildere mir doch bitte einmal genau, wo es denn hapert.
Rebekka wollte wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine bestimmte Person an einem 1. Januar Geburtstag hat.
Wenn alle Jahre gleich lang wären, wäre das kein Problem: es gibt 365 Tage pro Jahr, 1 davon ist der 1. Januar, die Geburten sind für alle Tage gleich verteilt. Damit wäre die Wahrscheinlichkeit 1/365 (ungefähr 0,002739726).
Nun sind aber nicht alle Jahre gleich lang, denn alle 4 Jahre haben wir doch ein Schaltjahr mit 366 Tagen. In einem Zeitraum von 4 Jahren haben wir also nicht etwa 1460 Tage (wie im ersten Ansatz oben) sondern 1461 Tage (wegen des einen zusätzlichen Tages im Schaltjahr). Von diesen 1461 Tagen sind 4 Tage ein 1. Januar (im Zeitraum von 2005 bis 2008 sind das z.B. der 1.Januar 2005, der 1.Januar 2006, der 1.Januar 2007 und der 1. Januar 2008). Bei gleicher Verteilung der Geburten haben wir jetzt also die Wahrscheinlichkeit 4/1461 (ungefähr 0,002737851) dafür, dass jemand am 1. Januar Geburtstag hat. Der Unterschied zum ersten Ergebnis ist nicht gerade sehr groß, aber immerhin vorhanden.
In den folgenden Mails habe ich ausgeführt, dass man eigentlich auch noch berücksichtigen müsste, dass Schaltjahre alle 100 Jahre einmal ausfallen (in den Jahren mit 00 am Ende), andererseits aber alle 400 Jahre dann doch wieder nicht ausfallen (also im Jahr 1600, 2000, 2400 usw.)
Rebekka hat zu Recht eingewandt, dass man dann auch die Kalenderreform im 16. Jahrhundert berücksichtigen müsste. Damit wäre dann zumindest die Voraussetzung der gleichverteilten Geburten sehr fragwürdig. Lassen wir also diese gesamten Sonderfälle weg. Am Ergebnis ändern sie sowieso nur sehr wenig.
Bleibt also nur noch die Frage, warum Rebekkas 2. Lösung nicht funktioniert. Das habe ich - so bilde ich mir ein - in meiner Antwortmail auf ihre Frage recht genau erläutert. Eben weil ein Schaltjahr 366 Tage hat und nicht nur 365, ist es ein wenig wahrscheinlicher, in einem bestimmten Schaltjahr geboren zu werden als in einem bestimmten Nicht-Schaltjahr. Nehmen wir als Beispiel noch einmal die Jahre 2005 bis 2008:
In diesen 4 Jahren gab es insgesamt 1461 Tage.
2005 war kein Schaltjahr und hatte damit 365 Tage. Die Wahrscheinlichkeit für jemanden, der irgendwann in den Jahren 2005 bis 2008 geboren wurde, genau in diesem Jahr geboren zu werden, beträgt also 365/1461.
Dasselbe gilt für 2006 und 2007.
2008 dagegen war ein Schaltjahr und hatte damit 366 Tage. Die Wahrscheinlichkeit für jemanden, der irgendwann in den Jahren 2005 bis 2008 geboren wurde, genau im Jahr 2008 geboren zu werden, beträgt deshalb 366/1461.
Rebekka war bei ihrem 2. Ansatz von der falschen Voraussetzung ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeit für die Geburt in einem bestimmten von 4 aufeinanderfolgenden Jahren 1/4 (=365/1460) ist. Daher führte ihre zweite Rechnung nicht zum selben Ergebnis wie ihre erste Rechnung. Der Unterschied liegt allerdings (wie ich in meiner ersten Antwort schon ausführte) nur im Milliardstel-Bereich:
4/1461 ist ungefähr 0,002737851,
1463/534360 ist ungefähr 0,002737855.
Ist damit alles klar? Sonst melde Dich noch einmal und schreib dann aber genauer auf, was Du nicht verstanden hast. (Seitenlange Ausführungen, die am Thema vorbeigehen, mag ich genauso wenig wie Du)
Viele Grüße
Jair |
Marco1 (Marco1)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2008 - 21:47: |
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die Aufstellung der Gleichungen ist mir nicht ganz
verständlich,geläufig z.B. im mehrstufigen Verfahren:
Die Gesamtwahrscheinlichkeit (mit einem Baum) ist: 1/4 * 1/366 + 3/4 * 1/365
warum multiplizieren und addieren, wie soll man sich das vorstellen ?
oder : 366/1461 * 1/366 + (3*365)/1461 * 1/365
die erste Lösung mit 1/4 und 3/4 war eigentlich
logisch, oder ?
VG
(Beitrag nachträglich am 30., Dezember. 2008 von marco1 editiert) |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2008 - 22:48: |
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Darf ich Dich, Marco, mal fragen, wie weit Du Dich in Mathematik auskennst? Hast Du z.B. schon mal etwas über Wahrscheinlichkeitsrechnung gehört? Ich gehe jetzt mal davon aus, dass Dir dieser Zweig völlig neu ist und versuche, Dir die Überlegung zu erklären:
Oben habe ich Dir einen sogenannten Baum zu Rebekkas Überlegung gezeichnet, die Du für so logisch hältst. Stell Dir vor, eine große Menge von Personen (z.B. 1000000) stehen am Start. Sie alle werden in den nächsten 4 Jahren geboren. Nach Rebekkas Überlegung ist ein Schaltjahr eines von 4 Jahren. Wenn die Geburtstage alle gleich verteilt sind, so wird deshalb 1/4 der Personen den Weg nach oben gehen (zum Punkt "Schaltjahr"). Das sind dann 250000. Die anderen 3/4 (also 750000) gehen zum unteren Punkt "Normaljahr". Von denen, die nach oben gegangen sind, gehen nun 1/366 weiter zum "1. Januar", der Rest zum "anderen Tag". Welcher Anteil ist jetzt zum 1.Januar gegangen: 1/366 von 1/4. In der Bruchrechnung bedeutet "von" immer "mal". Also sind 1/366 * 1/4 über den oberen Pfad zum 1.Januar als Geburtstag gegangen. Das bedeutet: die Wahrscheinlichkeit für diesen Pfad beträgt 1/366 * 1/4 = 1/1464.
Gehen wir nun einmal zum unteren Teil des Baums. 3/4 der Personen sind den Pfad bis zum "Normaljahr" gegangen (bzw. werden ihn gehen). Von diesen 3/4 gehen diesmal 1/365 zum 1.Januar (weil die normalen Jahre nur 365 Tage haben). Ähnlich wie oben bedeutet das: 1/365 * 3/4 gehen diesen Pfad. 1/365 * 3/4 = 3/1460.
Nun haben wir 2 Pfade die zum 1. Januar führen (oben und unten). 1/1464 der Personen gehen den oberen Pfad, 3/1460 den unteren Pfad. Alle diese Personen kommen jedoch am 1.Januar an. Das sind dann also 1/1464 + 3/1460. So kommt also die Formel zustande, über die Du Dich gewundert hast:
1/4*1/366 + 3/4*1/365.
Im Prinzip ist die Überlegung auch in Ordnung. Nur hat Rebekka nicht beachtet, dass die Wahrscheinlichkeit, in einem Schaltjahr geboren zu werden nicht 1/4 ist, sondern 366/1461. In einem Normaljahr geboren zu werden, hat die Wahrscheinlichkeit 1095/1461 ( = 3*365/1461). Warum das so ist, habe ich oben bereits zweimal erklärt. Es hängt damit zusammen, dass ein Schaltjahr einen Tag länger ist als ein Normaljahr. Mit dem Lösungsprinzip im Baum hat das aber nichts zu tun. Die Wahrscheinlichkeiten sind eben ein bisschen komplizierter, mehr nicht. Im Augenblick ist es wichtiger, wenn Du das Prinzip, die sogenannte Pfadregel im Baum, verstanden hast: Die Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade werden multipliziert, die Gesamtwahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade, die zum Ziel führen, addiert.
Viele Grüße
Jair |
Marco1 (Marco1)
Mitglied
Benutzername: Marco1
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 09-2008
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2008 - 15:30: |
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alles klar und sehr verständlich,
es ( das Schaltjahr ) ist ein wenig mehr als ein Viertel (+ 1 Tag ).
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Ist es in der Realität wirklich so, dass pro Tag
gleich viele Menschen geboren werden ?
glaube eher nicht, oder kann man das statistisch
vernachlässigen ?
VG |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 804
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2008 - 17:05: |
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Ich habe mal ein bisschen gegooglet und Statistiken angesehen. Danach schwankt die Geburtenhäufigkeit signifikant (statistisch bedeutsam) sowohl im Wochen- als auch im Jahresrhythmus. An Sonntagen werden signifikant weniger Kinder geboren als an Dienstagen, und die Geburtenrate in den Monaten Juli bis September ist auch signifikant höher als in den anderen Monaten. (Wie das wohl kommt? Interessante Ausführungen dazu findet man z.B. hier: http://www.zeit.de/2003/45/Kinder_2fOktober_45 )
Einen guten Rutsch
Jair |
rebekka
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2009 - 18:39: |
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keine Frage, aber mal ein dickes Dankeschön, wie ihr auf mein Problem eingegangen seid. Wenn ich geahnt hätte, was ich damit anrichte, hätte ich die Frage wohl kaum gestellt. |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 810
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2009 - 19:17: |
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Kein Problem, Rebekka. Die Frage hat mich interessiert. Den Dank nehme ich allerdings gerne an. Es kommt hier leider selten vor, dass sich jemand bedankt.
Ich wünsche dir ein erfolgreiches Schuljahr,
Jair |
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