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Hasilein (Hasilein)
Junior Mitglied
Benutzername: Hasilein
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2006 - 10:43: | 
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1.0 Das gleichschenklige Trapez ABCD mit den parallelen Seiten [AB] und [CD] hat die Symmetrieachse RQ mit R auf [AB] und Q auf [CD]. Es gilt AB=16 cm, CD=6 cm und QR=6 cm. Dieses Trapez ist die Grundfläche einer pyramide ABCDS, deren Spietze S senkrecht über dem Punkt Q mit QS=8 cm liegt.
1.1 Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. Dabei soll die Strecke [QR] auf der Schrägbildachse liegen. (Für die Zeichnung: q= 0,5 ; Omega= 45°)
Berechnen Sie das Maß Eta des Neigungswinkels SRQ der Seitenfläche ABS zur Grundfläche der Pyramide auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. (Teilergebnis: Eta= 53,13°)
1.2 Die Punkte Pn auf der Strecke [RS] mit Pn ist ungleich R sind die Spitzen von Pyramiden ABCDPn. Die Winkel RQPn haben das Maß Phi.
Zeichnen Sie die Pyramide ABCDP1 für Phi=70° in das Schrägbild zu 1.1 ein.
1.3 Ermitteln Sie rechnerisch die Streckenlänge QPn (Phi) und sodann das Volumen V(Phi) der Pyramiden ABCDPn in Abhängigkeit von Phi (auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Ergebnis QPn(phi)= 480 / sin(53,13° + phi) cm
V(phi) = 105,60 * sin(phi) / sin (53,13° + phi) cm^3]
Also das Schrägbild konnte ich noch ohne Probleme zeichnen... Auch auf das Winkelmaß von Eta bin ich noch folgendermaßen gekommen:
Dreieck RQS: RS^2 = RQ^2 + QS^2
6^2 + 8^2 = 100
=>RS = 10 cm
QS / sin(eta) = RS / sin (90°) =>
sin(eta) = QS * sin(90°) / RS
= sin(eta) = 0,8
=> eta = 53,13°
Naja die andere Pyramide konnte ich auch noch ohne Probleme einzeichnen, aber bei der Aufgabe 1.3 schaltet mein Gehirn total ab... Ich hab keine Ahnung wie ich das lösen kann...
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
Danke im Voraus |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 196
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2006 - 16:24: |
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Hallo, Hasilein,
bei der Berechnung von eta hättest Du Dir das Leben ein bisschen einfacher machen können!
Das Dreieck RQS ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei Q, also gilt:
tan(eta)= QS / QR = 4/3
Das Ergebnis ist natürlich dasselbe: eta=53,13°
liebe Grüße
elsa |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 197
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2006 - 17:27: |
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Hallo,
eine kleine Anregung zur weiteren Berechnung,
wobei mein Ergebnis mit Deinem angegebenen nicht völlig übereinstimmt:
ich vermute einen Fehler beim Dezimalpunkt.
ad 1.3
Dreieck RQPn
Wir kennen eta, phi und somit den dritten Winkel bei Pn, nennen wir ihn delta:
delta = 180° - eta – phi
aus dem rechwinkligen Dreieck RQS entnehmen wir:
sin(eta) = QS / RS = 8/10 = 4/5
dann gilt mit dem Sinussatz:
QPn / sin(eta) = QR / sin(delta)
QPn = (QR * sin(eta)) / sin(delta) = 24/5 * 1/sin(delta) =
4,8 * 1/sin(delta)
***************
Liebe Grüße
elsa |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 198
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2006 - 18:31: |
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Hallo, Hasilein,
meine Berechnungen zum Volumen unterscheiden sich auch ein wenig zu Deinen Ergebnissen.
Mir ist nicht ganz klar, wie man auf Deine Lösungen kommt...
Zum Volumen der Pyramide ABCDPn:
RPn / sin(phi) = QR / sin(delta) =>
RPn = ( QR*sin(phi)) / sin(delta)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
und weiters brauchen wir:
sin(eta) = 4/5
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die Pyramide habe die Höhe h, das ist das Lot von Pn auf die Grundfläche:
sin(eta) = h / RPn =>
h = RPn * sin(eta)
h = 4/5 * ( QR*sin(phi)) / sin(delta)
h = 24/5 * sin(phi)/sin(delta)
**************************
V = 1/3 * (AB + CD)/2 * h
V = 528/5 * sin(phi)/sin(delta)
V = 105,60 * sin(phi)/sin(delta) cm^3
********************************
Aus einer übersichtlichen Zeichnung, die Du ja hast, kannst Du alles gut ablesen und ich hoffe,
Dein Gehirn hat sich nun wieder eingeschaltet!
liebe Grüße
elsa |
Grandnobi (Grandnobi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Grandnobi
Nummer des Beitrags: 126
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2006 - 19:55: |
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Hallo Hasilein, so kommst Du auf die Musterlösung:
Betrachte das Dreieck SQP.
Aus der Winkelsumme 180° aller Dreieckswinkel ergeben sich die Winkel QSP=(90°-eta) und SPQ=(eta+phi)
Aus dem Sinussatz folgt dann:
SQ / sin(eta + phi) = QPn / sin(90°- eta)
QPn = SQ * sin(90° - eta) / sin(eta + phi)
QPn = 4,80 cm / sin(eta + phi)
Das vergessene Komma in der Musterlösung hatte Elsa ja schon angemerkt.
Die Höhe h der Pyramide ergibt sich damit zu
h = 4,80cm * sin(phi) / sin(eta+phi)
und das Volumen der Pyramide zu
V = (1/3) * 66cm² * 4,80cm * sin(phi) / sin(eta+phi)
V = 105,60 cm³ * sin(phi) / sin(eta+phi)
Gruß,
grandnobi |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 199
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2006 - 08:01: |
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Hi noch einmal,
ich hätte beachten sollen, dass
sin(180° - (eta+phi)) = sin(eta+phi)
Dann komme ich natürlich auch auf die vorgegebenen Lösungen!
liebe Grüße
elsa |
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