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Kleo (Kleo)
Neues Mitglied
Benutzername: Kleo
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 09-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. November, 2005 - 13:51: | 
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Ich habe folgende Aufgabe bekommen, verstehe sie nur leider nicht so ganz... Könnt ihr mir helfen???
Also,
ich habe einen Zylinder mit dem Radius r und der Höhe h, aus dem ein Kegel herausgeschnitten wird. Der Kegel hat auch die Höhe h und der Radius r.
a) Geben Sie den Rauminhalt des Restkörpers an.
Da hab ich 2/3*pi raus. Kann das sein??
b) Die Höhe h betrage nunmehr gerade r. Wie hoch muss ein zu einer Kugel vom Radius r gehöriger Kugelabschnitt sein, damit er den gleichen Rauminhalt hat?
Da habe ich die Gleichung:
2/3*pi = 2*pi/3*r³ und als Ergebnis r=h=1
Ich kann mir nicht vorstellen, dass das stimmt, oder??
Wäre echt froh, wenn mir jemand helfen könnte!! |
Grandnobi (Grandnobi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Grandnobi
Nummer des Beitrags: 92
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. November, 2005 - 19:40: |
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Also Kleo,
Aufgabe a)
Der Zylinder hat das Volumen
VZyl = p * r² * h
Der Kegel hat das Volumen
VKeg = (1/3) * p * r² * h
Der Restkörper hat das Volumen
VRest = VZyl - VKeg
VRest= (2/3) * p * r² * h
r und h mußt du bei der Lösung als Variablen mitführen. Die darfst du nicht einfach gleich dem Wert "1" setzen.
Aufgabe b)
mit r=h ergibt sich
VRest = (2/3) * p * r³
Die Höhe der Kugelkappe benenne ich mit "k", um sie nicht mit der Höhe "h" des Zylinders zu verwechseln.
Für die Bestimmung von k gibt es 2 Möglichkeiten:
1. Möglichkeit:
Man erkannt, daß das Volumen der gesamten Kugel beträgt:
VKugel = (4/3) * p * r³
Das Volumen der gesamten Kugel beträgt also genau das Doppelte des Volumens des Restkörpers.
Nur mit k=r erhält man eine Kugelkappe, deren Volumen dem Volumen der halben Kugel entspricht.
2. Moglichkeit:
Man wählt den Ansatz
VKugelkappe = (1/3)* p * k²(3r - k) = VRest = (2/3) p r³
Durch Umformen erhält man
3k²r - k³ - 2r³ = 0
Man erkennt, daß diese Gleichung nur für k=r erfüllt ist.
Eine rechnerische Auflösung, die ohne "scharfes Hinsehen" zu dem Ergebnis k=r, kann ich leider nicht bieten :-(
Gruß,
grandnobi |
Kleo (Kleo)
Neues Mitglied
Benutzername: Kleo
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 09-2005
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. November, 2005 - 13:16: |
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danke für die Hilfe, ich habs jetzt glaub ich verstanden!
Kannst du mir vielleicht bei dieser Aufgabe auch noch helfen?
Ich weiß überhaupt nicht wie und wo ich anfangen soll!!
Also,
Einem Würfel (Kantenlänge a) wird ein Tetraeder (Kantenlänge b) einbeschrieben, so dass die Kanten des Tetraeders die Diagonalen der Würfelflächen bilden. Die Länge a ist zahlenmäßig bekannt.
a)Geben Sie den Rauminhlat V_T des Tetraeders an.(ausgedrückt durch a)
Hier verstehe ich schonmal nicht, warum man das jetzt durch a ausdrücken soll, wenn die Kantenlängen doch b sind? Ich weiß, dass das Volumen V_T=1/12*a³*wurzel 3 ist, aber weiter weiß ich nicht...
b) Den Würfel kann man sich zusammengesetzt denken aus dem Tetraeder sowie vier Pyramiden gleichen Grundflächeninhalts. Wie groß ist der Rauminhalt V_P jeder dieser Pyramiden?
Ich muss ja zuerst h ausrechnen, oder? Aber wie?
Brauche wirklich nochmal Hilfe!11 |
Jasmin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. November, 2005 - 13:55: |
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guck mal - vielleicht hilft dir das:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/68409/11813.html |
Kleo (Kleo)
Neues Mitglied
Benutzername: Kleo
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 09-2005
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. November, 2005 - 15:55: |
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Das hiflt mir leider auch nicht weiter, weil ich so weit auch schon war. Ich bekomme aber die Rechnung nicht hin... |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1601
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. November, 2005 - 19:45: |
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Hi,
die Kantenlängen sind zwar b, aber diese musst du ja in a ausdrücken, weil (nur) a gegeben ist. Wie schon erwähnt, sind die Seiten des Tetraeders die Flächendiagonalen des Würfels, also betragen sie b = a*sqrt(2). Dies setzt du nun in die RICHTIGE* Volumsformel ein, fertig! [V = a^3 / 3]
Bei b) kann man listiger so verfahren: Du ziehst vom Würfelvolumen einfach das eben berechnete Tetraedervolumen ab und teilst es durch 4 .... [ = a^3 / 6 ]
*Das Volumen des Tetraeders lautet richtig: V = a^3 * sqrt(2) / 12
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 15., November. 2005 von mythos2002 editiert) |
Grandnobi (Grandnobi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Grandnobi
Nummer des Beitrags: 93
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. November, 2005 - 20:15: |
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Hi Mythos, bevor der kleine Tippfehler für Verwirrung sorgt ...
* Das Volumen des Tetraeders lautet:
V = b^3 * sqrt(2)/12
so daß mit:
b = a * sqrt(2)
V = a³ / 3
Gruß,
Grandnobi |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1604
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. November, 2005 - 20:38: |
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@Grandnobi
ich meinte eigentlich das a in der von Kleo angegebenen (allg.) Formel ...
Aber in der weiteren Rechnung muss natürlich das b dafür eingesetzt werden.
Danke für deine Aufmerksamkeit.
Gr
mYthos |
