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Janinazimmermann (Janinazimmermann)
Neues Mitglied
Benutzername: Janinazimmermann
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 05-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 15:35: | 
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Es seien 5 verschiedene Punkte in der Ebene gegeben. Keine drei liegen auf einer Geraden. Jeweils zwei Punkte sind durch eine blaue oder eine rote Strecke verbunden, und zwar so, dass:
(1) keine drei Strecken zusammen ein rotes oder blaues Dreieck bilden.
Zu beweisen ist:
Von jedem der fünf Punkte gehen zwei rote und zwei blaue Strecken aus.
Man kann auch mit Hilfe der Gegenbehauptung etwas herausbekommen, wen man diese als wahr voraussetzt:
Von einem der fünf Punkte gehen 3 rote Strecken aus.
Ich habe mir das ganze angesehen. Für mich ist es ganz "klar", dass dies so sein muss, aber mit was kann man das beweisen. Gruß
Janina |
dirk
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Mai, 2005 - 12:03: |
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Die Gegenbehauptung führt tatsächlich zum Ziel:
Angenommen, es gäbe einen Punkt, von dem nicht zwei rote und zwei blaue Strecken ausgingen. Dieser Punkt sei mit A bezeichnet. Da von ihm genau vier Strecken ausgehen und es genau zwei Farben gibt, gehen von ihm dann mindestens drei Strecken derselben Farbe aus. Bei dieser Farbe handele es sich um die Farbe f. Die Eckpunkte dieser drei Strecken seien mit B, C und D bezeichnet. Dann gilt also:
(i) Die Strecke AB hat die Farbe f.
(ii) Die Strecke AC hat die Farbe f.
(iii) Die Strecke AD hat die Farbe f.
Nach Voraussetzung gilt:
(1) Keine drei Strecken bilden zusammen ein rotes oder blaues Dreieck.
Betrachtet man das Dreieck ABC, so folgt aus (1), (i) und (ii) daher
(iv) Die Strecke BC hat nicht die Farbe f.
Betrachtet man ebenso das Dreieck ABD, so folgt aus (1), (i) und (iii):
(v) Die Strecke BD hat nicht die Farbe f.
Betrachtet man schließlich das Dreieck ACD, so folgt aus (1), (ii) und (iii):
(vi) Die Strecke CD hat nicht die Farbe f.
Bezeichnet man mit der Farbe g die „Gegenfarbe“ der Farbe f (für f = rot also g = blau und umgekehrt), so bedeuten die Aussagen (iv), (v) und (vi) zusammengenommen:
(vii) Die Strecken BC, CD und DB bilden einen Dreieck der Farbe g.
Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung (1). |
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