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Übungsaufgabe für Jeden -Stern-...

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Xeryk (Xeryk)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Xeryk

Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 08-2004
Veröffentlicht am Freitag, den 13. Mai, 2005 - 17:16:   Beitrag drucken

Hey! Wir haben in der Schule folgende Aufgabe durchgenommen:

1. Aufgabe:

Ein fünfzackiger Stern, wie abgebildet, soll völlig symmetrisch sein (alle fünf Linien sind gleich lang und alle gleichartigen Innenwinkel gleich groß).

Die Gesamtlänge der Linien sei 1000 mm, d.h. dass bei der Zeichnung des Sterns ein Bleistift ohne das Papier zu verlassen 1000 mm zurückgelegt hat.

Wie groß ist der Abstand von einer Sternspitze bis zum Mittelpunkt des Sterns?


Ich glaub, ich hab die Augaben als Anlage gemailt... Helft ihr mir trotzdem die Aufgaben zu lösen?

MfG
xeryk


text/htmlübungsaufgaben
Gymnasium.htm (1.2 k)

Sahra
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Xeryk (Xeryk)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Xeryk

Nummer des Beitrags: 54
Registriert: 08-2004
Veröffentlicht am Freitag, den 13. Mai, 2005 - 17:20:   Beitrag drucken



(Beitrag nachträglich am 13., Mai. 2005 von xeryk editiert)
Sahra
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Xeryk (Xeryk)
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Benutzername: Xeryk

Nummer des Beitrags: 55
Registriert: 08-2004
Veröffentlicht am Freitag, den 13. Mai, 2005 - 17:23:   Beitrag drucken

musste es wieder ändern, hat schon wieder nicht geklappt...sorry...

(Beitrag nachträglich am 13., Mai. 2005 von xeryk editiert)
Sahra
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Xeryk (Xeryk)
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Benutzername: Xeryk

Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 08-2004
Veröffentlicht am Freitag, den 13. Mai, 2005 - 17:27:   Beitrag drucken

Ja, jetzt hab ich´s hinbekommen... :-)) :-))


ich glaub jetzt klappts...
Sahra
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5098
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 13. Mai, 2005 - 18:12:   Beitrag drucken

Hi Sarah

Du praesentierst hier eine interessante Aufgabe der Planimetrie.

Im Szenario tritt als Hauptdarsteller ein regulaeres
Fuenfeck auf; in den Nebenrollen sehen wir die Diagonalen dieses Polygons, den Mittelpunkt und den Umkreis.
Mit bestimmten Saetzen über das regulaere Fuenfeck kann
Deine Frage beantwortetet werden.

Ich bitte Dich, Deine Loesung zu publizieren, damit niemand
sich mit seinem , ev. falschen Ergebnis, blamiert.
Mit dem erwaehnten Szenario laesst sich die Aufgabe rasch loesen. Es fragt sich, ob Dir die Eigenschaften des
regelmaessigen Fünfecks zur Genuege bekannt sind.

Mit freundlichen Gruessen
H.R.Moser,megamath
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1314
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 13. Mai, 2005 - 19:00:   Beitrag drucken

sehr fein die Aufgabe - darf man Trigonometrie anwenden?

indem es 5 gleich lange Strecken sind, die in Summe 1000 mm sein sollen, ist eine davon 200 mm lang; diese ist Verbindung 2er nicht nebeneinanderliegender Eckpunkte eines regelmäßigen 5ecks; ausgehend vom Umkreis dieses 5ecks gilt dann gemät des Cos-Satzes:

r^2 + r^2 - 2r^2 * cos ( 4pi/5 ) = 200^2
2r^2 ( 1 - cos( 4pi / 5 ) ) = 200^2
r^2 = 200^2 / 2 * 1 / ( 1 - cos( 4pi / 5 ) )
r ~ 105,146 mm


Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5099
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 13. Mai, 2005 - 19:54:   Beitrag drucken

Hi Walter



Zur Beruhigung: ich habe dasselbe Resultat!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5100
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 07:55:   Beitrag drucken

Hi Sarah

Ich moechte auch noch meinen Loesungsvorschlag
zum Besten geben:

Die Sternspitzen bilden die Ecken des in meinem frueheren Beitrag erwaehnten regulaeren Fuenfecks ABCDE.
M sei der Mittelpunkt , MA = r der Umkreisradius,
AC eine Diagonale, Länge d.
Mit a sei die Seitenlaenge des Fuenfecks bezeichnet,
d ist gegeben; es gilt d = 200 mm

Wir ermitteln den gesuchten Abstand, der mit r
uebereinstimmt, indem wir zuerst a berechnen.
Das Letztere geschieht mit Hilfe des Satzes:

Die Diagonale d des regulären Fünfecks wird durch die
Fuenfeckseite a nach dem goldenen Schnitt geteilt.
Dabei ist die Fuenfeckseite der groessere Abschnitt
Es gilt also:
a = [ sqrt(5 ) - 1] / 2 * d ~ 123,6 mm

Der Umkreisradius r erscheint als Schenkellänge
MA = MB des gleichschenkligen Dreiecks MAB.
Der Winkel an der Spitze M dieses Dreiecks misst
360 grad /5 = 72 grad.
Ist N der Mittelpunkt der Basis AB, so lässt sich r
im rechtwinkligen Dreieck MNA trigonometrisch
berechnen:
r = (a/2) / sin 36 grad ~ 105,1 mm

Anmerkung

Beachte:
die eigentliche Rechnung ist in zwei Zeilen erledigt!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1316
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 10:26:   Beitrag drucken

Danke Megamath,

das mit dem goldenen Schnitt wußte ich nicht

Nachtrag: Berechnung des Radius r in Abhängigkeit der Seite a ohne trigonometrische Funktionen

sqrt((sqrt((r/2)^2 + r^2) - r/2)^2 + r^2) = a
sqrt((sqrt(5/4)r - r/2)^2 + r^2) = a
sqrt((sqrt(5)/2 - 1/2)^2*r^2 + r^2) = a
r * sqrt(5/4 - sqrt(5)/2 + 1/4 + 1) = a
r * sqrt(5/2 - sqrt(5)/2) = a
r = a * 2/sqrt(10 - 2sqrt(5))

ich denke da sollte man besser vorher Formeln zusammenführen bevor man konkrete Zahlen einsetzt

r = [ sqrt(5) - 1] / 2 * d * 2/sqrt(10 - 2sqrt(5))
r = [ sqrt(5) - 1]/sqrt(10 - 2sqrt(5)) * d
r = [ sqrt(5) - 1]/[sqrt(2*sqrt(5))sqrt(sqrt(5) - 1)] * d
r = sqrt(sqrt(5) - 1)/sqrt(2*sqrt(5)) * d
r = sqrt(2)*sqrt(1 - 1/sqrt(5))/2 * d

so sieht es dann gesamt aus
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5103
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 10:51:   Beitrag drucken

Hi Walter



Damk zurück
für doe Herleitung ohne Trig.

MfG
H.R.
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Xeryk (Xeryk)
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Benutzername: Xeryk

Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 08-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 14:03:   Beitrag drucken

Hey Megamath und Mainziman!!!

WOW! Das ging ja ziemlich flott!!! Vielen Dank! Hab mir um ehrlich zu sein die Rechenwege noch nicht wirklich angeschaut, aber das Ergenbins ist schon mal richtig! 105,146 kommt da raus...

Mit dem erwaehnten Szenario laesst sich die Aufgabe rasch loesen. Es fragt sich, ob Dir die Eigenschaften des
regelmaessigen Fünfecks zur Genuege bekannt sind.

Nun, nein leider sind mir die Eigenschaften eines Fünfecks nicht bekannt. Unser Lehrer hat uns diese Aufgabe gegeben uns die ganze Mathestunde überlassen und am Schluss nur noch das Ergebnis genannt.

Könnte ich euch noch eine weitere Aufgabe geben, die er uns an dem Tag auch gegeben hat, jedoch ohne Ergebnis...?

Vielen DAank und liebe Grüße
Sahra}
Sahra
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Xeryk (Xeryk)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Xeryk

Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 08-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 14:04:   Beitrag drucken

Ach und mir fällt gerade auf: das mir dem Sqrd und so, das hatten wir noch nicht...
Sahra

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