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Exzel (Exzel)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Exzel
Nummer des Beitrags: 67
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. März, 2005 - 19:56: | 
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Hallo zusammen,
auf Seite 137 in dem Buch "Das Mathe Gen", beschreibt der Autor folgende Gleichung zu einem gleichseitigen Dreieck mit den Eckpunkten X, Y und Z.
x ° v = y
Sprich x verknüpft mit v = y.
x ist in diesem Fall die Spiegelung um die X-Achse und v wäre eine Drehung um 120° im Uhrzeigersinn. Beide Transformationen nacheinander ausgeführt wäre dann gleich der Spiegelung um die Y-Achse.
Ich habe mir das mal genauer angesehen und konnte das so leider nicht nachvollziehen.
Wenn ich das Dreieck XYZ um die X-Achse spiegele dann bekomme ich das Dreieck XZY. Dieses Dreieck um 120° im Uhrzeigersinn gedreht ergibt das Dreieck YXZ.
Wenn ich gleich das Dreieck XYZ um die Y-Achse spiegele komme ich auf das Dreieck ZYX.
Was verstehe ich falsch?
THX im Voraus. |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2737
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. März, 2005 - 21:54: |
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also ich sehe eine 180° Drehung statt 120;
(
außer daß z.B. A"C" gegenüber AC um 120° gedreht ist.)
Stimmen würde das nur für ein gleichs.3eck dessen
Mittelpunkt im Achsenscnittpunkt liegt.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Exzel (Exzel)
Neues Mitglied
Benutzername: Exzel
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. März, 2005 - 16:11: |
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Sorry hab' einen kleinen Fehler gemacht. Es handelt sich nicht um das Dreieck XYZ, sondern um ein gleichseitiges Dreieck mit den Achsen XYZ. Und die 120° stehen auch so in dem Buch.
Ich hab' eine Grafik von dem Dreieck als Anlage mitgeschickt.
Und da stellt sich für mich die Frage, warum eine Spiegelung um die x-Achse und eine Drehung um 120° die gleiche Transformation ergeben als würde man das Dreieck um die y-Achse spiegeln.
x ° v = y |
Exzel (Exzel)
Neues Mitglied
Benutzername: Exzel
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. März, 2005 - 16:25: |
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2739
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. März, 2005 - 18:39: |
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Punkte in üblicher Bezeichnung von li.u. beginnend
Original:
C
AB
SpiegelungX:
C
BA
Drehung:
A
CB
SpiegelungY von Original ausgehend:
A
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4940
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. März, 2005 - 10:24: |
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Hi Alex
Bei der Stellung Deiner Aufgabe und auch bei der Beantwortung ist Einiges schief gelaufen.
Missverständnisse haben sich von Anfang an eingenistet und waren nicht mehr auszumärzen, auch am Monatsende nicht.
Nach meiner Ansicht handelt es sich bei Deiner Aufgabe um ein Beispiel aus der Gruppe der kongruenten Abbildungen,
die ein gegebenes gleichseitiges Dreieck ABC in sich selbst
überführen.
Es handelt sich also um die allerersten Schritte in der Gruppentheorie.
Dabei sind X,Y,Z , wie Du schließlich sagst, die drei Symmetrieachsen des Dreiecks und nichts anderes.
Wir stellen nun die Aufgabe neu und etwas allgemeiner:
Aufgabe
Man bestimme die Gruppentafel der kongruenten Abbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich selbst.
Benütze für die Drehungen um den Schwerpunkt S des Dreiecks die Symbole
e (Drehung um null), d (Drehung um 120°), f (Drehung um 240°)
x (Spiegelung an der X-Achse, y (Spielung an der Y-Achse) ,
z (Spiegelung an der Z-Achse).
& sei das Verknüpfungssymbol.
Beachte:
Es sind alle kongruenten Abbildungen zu suchen, welche das Dreieck als Fix-Figur besitzen.
Setzt man zwei zusammen, bildet man (wie man sagt) ihr Produkt, so entsteht immer wieder eine dieser Abbildungen.
In einer Gruppentafel sind in einer quadratischen Tabelle alle möglichen Produkte mit zwei Faktoren unter dem Régime der
Operation & zusammengestellt;
d&z bedeutet demnach: spiegele zuerst an der Z-Achse, das Resultat ist sodann der Abbildung d zu unterwerfen
(Reihenfolge beachten!).
Deine ursprüngliche Frage lautet:
Durch welche einzige Abbildung kann das Produkt d&x
ersetzt werden?
Antwort:durch die Spiegelung y an der Y-Achse.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4941
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. März, 2005 - 11:40: |
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Hi allerseits
Noch ein paar nützliche Hinweise zur Gruppe der Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks in sich.
Es liegt eine endliche Gruppe mit genau n = 6 Elementen vor, die wir mit e, d , f , x , y , z bezeichnet haben.
Die Anzahl n der Elemente heißt Gruppenordnung;
e ist das so genannte Einselement, aus nahe liegenden Gründen (welchen?).
Das Kommutativgesetz gilt nicht, weil die Beziehung
a1 & a2 = a2 & a1 für beliebige Gruppenelemente a1,a2
nicht gilt.
Man kann zeigen: die vorliegende Gruppe ist die Gruppe niedrigster Ordnung, für welche das Kommutativgesetz nicht gilt.
Ein paar Worte zur Gruppentafel.
Dies ist eine Möglichkeit, einen Überblick über die paarweise
Verknüpfung der Gruppenelemente zu gewinnen.
Gruppentafeln wurden zuerst benützt von A.Cayley im Jahr 1854; wir haben A.Cayley bei der Behandlung der Drehformeln im R3 kennengelernt.
Die Gruppentafel hat die Form eines quadratischen Schemas
mit n Zeilen und n Kolonnen.
Die Elemente werden in einer bestimmten Reihenfolge, beginnend mit dem Einselemet e, als Kopfzeile° und als linke Leitspalte ° notiert.
In der i-ten Zeile und k-ten Kolonne steht das Ergebnis der Produktbildung ai & aj.
Merke:
In jeder Zeile und in jeder Kolonne kommt jedes Element der
Gruppe genau einmal vor.
Bei kommutativen Gruppen, den so genannten Abelschen Gruppen, ist das Schema der Gruppentafel bezüglich der Hauptdiagonalen symmetrisch.
Empfehlung
Man studiere die Anfangsgründe der Gruppentheorie!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4942
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. März, 2005 - 17:00: |
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Hi allerseits
Es folgt die Angabe der Gruppentafel.
Die Bezeichnungen sind dieselben wie in meinem letzten Beitrag.
im Saum oben: die nullte Zeile als Kopfzeile:e, d , f , x , y , z
im Saum links: die nullte Spalte als Rand: e, d , f , x , y , z
im Kern:
erste Zeile: e, d , f , x , y , z
zweite Zeile: d, f , e , y , z , x
dritte Zeile: f, e , d , z , x , y
vierte Zeile: x, z , y , e , f , d
f¨¹nfte Zeile: y, x , z , d , e , f
sechste Zeile: z, y , x , f , d , e
Anwendungsbeispiele:
f & f = d ; x & y = f ; y & x = d
f & d = e: ; d & f = e : d und f sind inverse Elemente.
usw.
Mit freundlichen Gr¡í▀en
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4943
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. März, 2005 - 17:28: |
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Hi allerseits
Zu empfehlen sind die folgenden Beiträge aus Germanien in
Google:
http://infos.aus-germanien.de/Teilgebiete_der_Mathematik#Gruppentheorie
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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Dreieck
