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Himbeersenf (Himbeersenf)
Junior Mitglied
Benutzername: Himbeersenf
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 06-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. März, 2005 - 10:55: | 
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Hallo,
Ich habe folgende Ungleichung mehrmals gerechnet und komme immer wieder auf eine allgemeingültige Lösung. Die Lösungsmenge ist laut Buch aber x>3 oder -1<x<2, was sich beim Einsetzen auch als richtig herausstellt.
Die Aufgabe lautet (2x-1)/(x-2) < x+2; D= R{2}
Hier meine Rechnung
1. Fall: x > 2
2x-1 < x²-4 <=> -x²+2x-1 < -4 <=> x²-2x+1 > 4
<=> (x-1)² > 4
<=> x-1>2 oder x-1>-2
<=> x > 3 oder x > -1
(x>-1 gilt aber für alle x>2 und da bei einer oder-Verknüpfung nur eine Teilaussage zutreffen muss, ist die Aussage doch für alle x>2 wahr?)
2. Fall: x<2
2x-1 > x²-4 <=>...<=> (x-1)²<4
<=> x-1 < 2 oder x-1 <-2
<=> x<3 oder x<-1
x<3 gilt für alle x<2,
also x>2 oder x<2 und damit ganz R?!
Komme übrigens mit quadratischen Ungleichungen generell nicht klar, würde mich freuen wenn mir hier jemand exmplarisch an dieser Aufgabe meinen Denkfehler aufzeigen könnte.
Frohe Ostern
MfG Julia |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2736
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. März, 2005 - 11:21: |
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1. Fall: ... x-1 > 2 oder x-1 < -2
enstsprechend 2. Fall
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1214
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. März, 2005 - 11:23: |
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(2x-1)/(x-2) < x+2
Fall x-2 > 0 <=> x > 2
2x-1 < x^2-4
0 < x^2 - 2x - 3
0 < (x-3)(x+1)
Ein Produkt ist größer als 0 wenn entweder beide Faktoren positiv oder beide negativ sind;
( x-3 > 0 und x+1 > 0 ) oder
( x-3 < 0 und x+1 < 0 )
<=>
( x > 3 und x > -1 ) oder
( x < 3 und x < -1 )
<=>
( x > 3 ) oder
( x < -1 )
es bleibt ( x > 3 )
( x > 3 ) und ( x > 2 ) ergibt ( x > 3 )
der andere Fall x-2 < 0 <=> x < 2
2x-1 > x^2-4
0 > x^2 - 2x - 3
0 > (x-3)(x+1)
Ein Produkt ist kleiner als 0 wenn ein Faktor positiv und einer negativ ist;
( x-3 > 0 und x+1 < 0 ) oder
( x-3 < 0 und x+1 > 0 )
<=>
( x > 3 und x < -1 ) oder
( x < 3 und x > -1 )
( x > 3 und x < -1 ) ist leer und fällt weg, es bleibt ( x < 3 und x > -1 ) <=> -1 < x < 3
-1 < x < 3 und x < 2 ergibt -1 < x < 2
somit ist die Lsg. der Ungleichung
( -1 < x < 2 ) oder ( x > 3 )
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. März, 2005 - 11:39: |
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Hallo Julia,
Der Fehler liegt im Wurzel ziehen.
1. Fall:
Hier muss es korrekt heißen:
(x-1)2 > 4
<=> x-1>2 oder x-1<-2}
Wenn du nämlich jetzt bei der zweiten Möglichkeit rückwärts rechnest, also quadrierst, dann multiplizierst du zumindest -2 mit einer negativen Zahl, d.h. Umkehr des Zeichens. Man erhält dann die Lösungen
x>3 oder x<-1
Da der Fall x>2 betrachtet wird, entfällt die zweite Möglichkeit.
2. Fall:
Entsprechend kommt hier raus
x<3 und x>-1
Da der Fall x<2 betrachtet wird, beschränkt sich die Lösungsmenge auf -1<x<2.
Es wäre hier noch eine plausible Erklärung nötig, warum in der Lösung des ersten Falles "oder" stehen muss, aber im 2. Fall "und".
Eine Alternative, um Wurzeln ganz zu umgehen, ist manchmal (so auch hier) möglich:
z.B. 1. Fall:
2x-1 < (x+2)(x-2) = x2-4
<=> 0 < x2-2x-3 = (x+1)(x-3)
Damit (x+1)(x-3)>0 ist, müssen entweder beide Klammern <0 sein, was durch die Voraussetzung x>2 ausgeschlossen ist, oder beide Klammern >0, was ab x>3 der Fall ist.
2. Fall
0>(x+1)(x-3)
Hier muss eine Klammer >0 sein und eine <0. Das ist nur möglich, wenn die erste Klammer >0 und die zweite Klammer <0 ist, also im Bereich -1<x<3.
Jetzt fällt mir auch ein, wie das mit dem "und" und dem "oder" geht:
1. Fall : (x+1>0 und x-3>0) oder (x+1<0 und x-3<0)
2. Fall : (x+1<0 und x-3>0) oder (x+1>0 und x-3<0)
Gruß Dörrby |
Himbeersenf (Himbeersenf)
Mitglied
Benutzername: Himbeersenf
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 06-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. März, 2005 - 11:48: |
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Danke, hab's verstanden.
Gruß,
Julia |
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