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Heimar77 (Heimar77)
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Benutzername: Heimar77
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 11:28: | 
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In welcher Höhe h1 über der Grundfläche ist ein senkrechter Kegel der Höhe h und dem Radíus r durchzuscheniden, damit beide Teile
a) gleiches Volumen
b) gleich große Mantelflächen
c) gleich große Oberflächen
besitzen?
Bin dankbar für ausführliche Lösungshinweise!
viele gruesse
heimar77
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2718
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 12:01: |
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a)
Volumina wachsen mit der 3ten Potenz des Abstandes
a von der Spitze für gleiches Volumen muß also
a³ = h³/2 gelten
b)
für Flächen 2te Poten also
a² = h²/2
c)
da muß leider wirklich gerechnet werden, dauer noch
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2719
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 15:04: |
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c)
möge man mich eines Besseren belehren oder ich das
missverstanden haben
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4880
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. März, 2005 - 07:01: |
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Hi Marco
Solche Fragestellungen waren in früheren Zeiten,
bevor die Vektorrechnung sich an den
Gymnasien etablierte, an diesen Schulen an der
Tagesordnung.
Zur Erinnerung an diese Zeiten, die ich als Schüler
noch erlebte, entnehme ich die Lösung der
Teilaufgabe c) einem bald 120 jährigen Lehrbuch,
zum Teil Wort für Wort.
Das Lehrbuch stammt aus dem Jahr 1886 und
heißt:
Lehrbuch der Körperberechnungen, Zweites Buch.
Gebrauch an niederen und höheren Schulen, sowie zum
rationellen Selbststudium,
bearbeitet nach eigenem System
von Dr.A. Kleyer, Ingenieur und Lehrer, vereideter
königl. preuss. Feldmesser, vereideter grossh.hess.
Geometer 1.Klasse in Frankfurt a.M.
Die Teilaufgabe c) samt Lösung ist auf Seite 128
zu finden.
Besprochen wird der Spezialfall, bei welchem für
die Länge der Kegelmantellinie s = 2 r gilt, mir r
als Grundkreisradius des Kegels.
Dies bedeutet: der (ganze) Öffnungswinkel des Kegels
beträgt 60°.
Es ergibt sich aus diesem Spezialfall ein sehr interessantes
Schlussresultat.
Es ist nicht schwierig, anhand dieser Lösung den Abstand h1
für den allgemeinen Fall (mit beliebigem s >r) zu berechnen
und das Ergebnis von Friedrich zu verifizieren (!).
Bezeichnung in einem Achsenschnitt:
Gegeben wird das gleichschenklige Dreieck S AB
Spitze S: Kegelspitze S
Basis AB = 2r : Durchmesser des Grundkreises des Kegels.
Mittelpunkt M der Strecke AB -> Höhe h des Kegels:
h = SM
Eine parallele Gerade zu AB schneidet SA in C
und SB in D
Mittelpunkt N der Strecke CD.
SB = s : Länge der Mantellinie; im Spezialfall: s = 2r.
SC = x
CA = s – x
CD = 2y : Durchmesser des Deckkreises des Kegelstumpfs.
Zitat aus dem Originaltext:
Auflösung.
Ist, siehe Figur 52, CD die gedachte Schnittebene
und bezeichnet man die gesuchte Seitenlinie SC
des abgeschnittenen Kegels SCD mit x, also die Seite AC
des Kegelstumpfs ABCD mit s - x, bezw. mit 2 r – x,
den unbekannten Radius CN des Schnittkreises mit y
und berücksichtigt man, dass die Schnittfläche CD den
beiden entstandenen Körperteilen als
Begrenzungsfläche angehört, so hat man der Aufgabe
gemäß und mit Benützung der vorstehenden Formeln
die Gleichung
(1) pi * y * x = pi *(2 r – x ) * (r + y) + r^2 * pi
Ferner ergibt sich aus den ähnlichen Dreiecken
SNC und SMA die Proportion
CN : CS = AM : AS
bezw. die Gleichung
(2) y : x = r : s
Die Gleichung (1) geht durch Reduktion über in
(3) 2 x y + r x – 2 r y = 3 r^2
Aus Gleichung (2) erhält man, wenn s = 2 r gesetzt wird,
(4) y = x/2.
Aus den Gleichungen (4) und (3) erhält man
2 x * x/2 + r * x - 2 r * x/2 = 3 r^2
oder
x^2 + r x – r x = 3 r^2
x^2 = 3 r^2,mithin
x = r wurzel (3) *)
*) Anmerkung
Da die Höhe H des Kegels in die Seitenlinie s = 2r
und den Radius r des Grundkreises ausgedrückt
= wurzel [(2r)^2-r^2]= wurzel [4r^2 – r^2]
=wurzel[3r^2] = r wurzel(3) ist, so kann man auch sagen:
Die gesuchte Seitenlinie x des gedachten abgeschnittenen
Kegels ist gleich der Höhe des ganzen Kegels.
Ende des Zitats.
Viel Vergnügen bei der Bearbeitung!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4881
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. März, 2005 - 10:26: |
|
Hi Marco
Ich behandle im Folgenden noch den allgemeinen Fall
der Teilaufgabe 1c).
Mit denselben Bezeichnungen wie in meinem vorhergehenden
Beitrag kommt für die gegebene, von r unabhängige Länge
s der Kegelmantellinie der Reihe nach:
Aus der Bedingung gleicher Oberflächen der Körper:
(1) pi * y * x = pi *(s – x ) * (r + y) + r^2 * pi
Ferner ergibt sich aus den ähnlichen Dreiecken
SNC und SMA die Proportion
CN : CS = AM : AS , somit
(2) y : x = r : s oder y = x r / s
Aus den Gleichungen (1) und (2) erhält man nach
Vereinfachungen:
(1) x^2 = (s – x) (s + x) + r s
oder
2 x^2 = s * (r + s), also
x^2 = s*m, mit m = ½ * (r + s)
Wir berechnen noch y^2 und erhalten:
y^2 = r^2 * x^2/ s^2 = m r^2 /s
Das sollte genügen; die Aufgabe ist erfolgreich gelöst!
Im Aufgabentext wird verlangt, den Abstand h1 der
Schnittebene von der Leitkreisebene des Kegels zu bestimmen.
Dies führt, wie man bald feststellt, auf eine
unnötige Rechenarbeit,
auf die wir gerne verzichten.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Heimar77 (Heimar77)
Mitglied
Benutzername: Heimar77
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. März, 2005 - 20:24: |
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also im Lösungsbuch steht dazu folgendes:
a) h1= (1 - (1/2) * (3.Wurzel4)* h = 0,21*h
b) h1= (1 - (1/2) * (Wurzel2) * h = 0,29*h
c) h1= (1 - (1/2) * (Wurzel2) * h = 0,29*h
Kann nicht ganz überblicken, ob eure Lösungsansätze auf die gleiche Lösung kommen würden. Wenn ja, dann bitte den einfachsten Lösungsweg nochmal posten. (Gern auch als Anlage). Dies ist eine Aufgabe aus einem Schulbuch der Klasse 10 (Gymnasium)
(LambacherSchweizer 10, BW, S. 115)
viele gruesse
heimar77
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Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. März, 2005 - 19:33: |
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Hallo Heimar,
ich versuch's mal von vorne (am besten den Kegel mal aufmalen). Bezeichnungen wie folgt:
h1 = Höhe des oberen (kleinen) Kegels
h2 = Höhe des gesamten Kegels (Aufg.-Stellung: h)
hd = Höhe des Stumpfes (Aufg.-Stellung: h1)
Entsprechende Bezeichnungen für Radien r und Seitenhöhen s.
a)
V1 = pi * r1^2 * h1 soll genau halb so groß sein wie das gesamte Volumen V2 = pi * r2^2 * h2,
also (pi * r2^2 * h2)/(pi * r1^2 * h1) = (h2*r2^2)/(h1*r1^2) = 2
Aus dem Strahlensatz folgt hier (siehe Zeichnung) h2/h1 = r2/r1 = s2/s1 =: k (eine Konstante)
Also gilt: k^3 = 2, oder k = 3.Wurzel(2)
Gesucht: hd = h2 - h1 = h2 - h2/k = h2 * (1 - 1 / 3.Wu(2) ) = 0,2063 * h2
b)
Rollt man den Kegelmantel auseinander, bekommt man einen Kreissektor mit Radius s2 und Bogenlänge 2*pi*r2 (Zeichnen !).
Die Fläche beträgt pi*r2*s2 (siehe Formelsammlung)
Diese Fläche muss jetzt durch einen Bogen der Länge 2*pi*r1, der auch um den Mittelpunkt verläuft, in 2 gleiche Teile geteilt werden, also
(pi*r2*s2)/(pi*r1*s1) = (r2*s2)/(r1*s1) = 2
Mit r2/r1 = s2/s1 = k ergibt sich k^2 = 2 oder k = Wurzel(2)
Da auch h2/h1 = k, kann man wieder rechnen
hd = h2 - h1 = h2 - h2/k = h2 * (1 - 1/Wurzel(2) ) = 0,2929 * h2
c)
ist etwas komplizierter. Die Lösung aus dem Lösungsbuch ist ja die gleiche wie bei b, das kann aber nicht sein, denn zu dem Mantel des oberen Kegels kommt nur die Zwischenfläche, zu dem Mantel des Kegelstumpfes aber Zwischenfläche und Grundfläche, d.h. bei dieser Lösung wäre die Oberfläche des Stumpfes größer !
Gruß Dörrby |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4910
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. März, 2005 - 20:55: |
|
Hi Heimar
Dörrby hat die Teilaufgaben a) und b) elegant bewältigt.
Bezüglich der Teilaufgabe c) teile ich seine Meinung.
Die Angaben im Schlüssel sind falsch!
Das geht schon daraus hervor, dass diese
Formel den von mir behandelten Spezialfall s = 2r
nicht erfasst.
Ich werde morgen einen direkten Weg
zum hoffentlich richtigen Schlussresultat zeigen
Ein Wunsch meinerseits:
Ich bitte die Aufgabensteller, mit einem ev. Echo
rascher zu reagieren und damit nicht eine Woche zu warten.
Auch Danke zu sagen wäre wohl angebracht!
Wenn Resultate zu den Aufgaben bereits in einem Schlüssel
vorliegen, sollten diese uns nicht vorenthalten
und zusammen mit der Aufgabe mitgeteilt werden!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. März, 2005 - 05:05: |
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Etwas hatte ich bei a und b noch vergessen:
Diese Lösungen entsprechen den Lösungen aus dem Lösungsbuch:
1 / 3.Wu(2) = 1/2 * 3.Wu(4) (erweitert mit 3.Wu(4) )
1 / Wu(2) = 1/2 * Wu(2) (erweitert mit Wu(2) )
Überlegungen zu c:
Die Oberfläche des oberen Kegels besteht aus der Mantelfläche und der Schnittfläche (kreisförmig).
Die Oberfläche des Stumpfes besteht aus Mantelfläche, Schnittfläche und Grundfläche.
Da die Schnittfläche bei beiden immer gleich groß ist, kann man sie bei der Berechnung weglassen.
1. Stellen wir uns einen sehr schmalen Kegel vor, die Grundfläche ist dann sehr klein und hat fast keinen Einfluss. So kommen wir in die Nähe der Lösung von b)
2. Stellen wir uns einen sehr breiten Kegel vor, die Grundfläche ist also fast so groß wie die gesamte Mantelfläche. Dann kommt nur noch ein kleiner Rand des Mantels zu der Grundfläche, die Lösung ist fast 0.
Folglich gibt es keine eindeutige Lösung, sondern die Lösung liegt zwischen 0 und 0,2929*h , abhängig von dem Verhältnis der Größen h und r.
Gruß Dörrby |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4911
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. März, 2005 - 07:26: |
|
Hi Dörrby
Zur Teilaufgabe c):
Du hasst das Problem bestens erfasst!
Dies wird das Resultat meiner folgenden Lösung zeigen.
Bei dieser zweiten und direkten Lösung des Problems
führe ich den halben Öffnungswinkel phi des Kegels ein.
Der Winkel phi ist somit der Winkel zwischen der Kegelachse
und einer Mantellinie.
Im Übrigen gelten meine früheren Bezeichnungen.
r: Radius des Grundkreises
h: Höhe des (ganzen) Kegels
s : Länge einer Mantellinie des (ganzen) Kegels
y: Radius des abgeschnittenen Kegels
x: Länge einer Mantellinie des abgeschnittenen Kegels.
Gesucht wird der Abstand h1 des Parallelschnitts
von der Grundflächenebene des Kegels.
Die Oberflächenbedingung lautet
(siehe auch in meinem früheren Beitrag nach)
(B): x y = (s - x) (r + y) + r^2
Nun rechnen wir konsequent mit trigonometrischen
Funktionen des Winkels phi.
Es gilt:
s = h/cos(phi) ; r = h tan(phi)
x = (h-h1) / cos(phi)
y = x sin (phi) = (h-h1) tan(phi)
Setzt man dies in die Bedingungsgleichung (B) ein
und multipliziert beide Seiten mit [cos(phi)]^2,
so kommt:
(h - h1)^2*sin(phi) = (2h – h1)*h1 sin(phi) + h^2* [sin(phi)]^2
Dies führt auf eine quadratische Gleichung für h1 als Unbekannte:
2*h1^2 – 4 h h1 + h^2* [1 – sin(phi)] = 0
Als Lösung zählt:
h1 = h – h sqrt [½ {1 + sin(phi)}]
Für den früher behandelten Spezialfall phi = 30°
(der Achsenschnitt ist ein gleichseitiges Dreieck)
erhalten wir:
h1* = h – h/2 * sqrt (3), wie damals.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4912
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. März, 2005 - 09:41: |
|
Hi Dörrby
Beachte noch, dass aus meinem allgemeinen Resultat
für die Teilaufgabe c) leicht folgt:
Der Grenzwert im Sinne von phi strebt gegen null beträgt
lim h1 = (1 – 1/sqrt(2)) * h ~ 0,2929 * h.
Wir sind bei Teilaufgabe b)!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. März, 2005 - 14:56: |
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Hi Megamath,
auch wenn du die Augabe jetzt schon komplett gelöst hast, will ich trotzdem noch die Lösung für Aufgabe c ohne Winkelfunktionen aufschreiben, auch wenn der Fragesteller offenbar gar nicht mehr interessiert ist.
Ich benutze wieder meine Bezeichnungen (s.o.).
A1 sei die Mantelfläche des oberen Kegels,
Ad die Mantelfläche des Stumpfes und
G die Grundfläche
Nach den Überlegungen muss gelten:
A1 = Ad + G
-> pi*r1*s1 = pi*r2*s2-pi*r1*s1 + pi*r2^2 | +pi*r1*s1
-> 2*pi*r1*s1 = pi*r2*s2 + pi*r2^2 | :pi*r2
-> 2*r1/r2 * s1 = s2 + r2 | :s2
-> 2 * r1/r2 * s1/s2 = 1 + r2/s2
Nach obigen Überlegungen ist r2/r1 = s2/s1 = h2/h1 =: k, also:
2/k^2 = 1 + r2/s2 und somit
k = Wurzel( 2 / (1+r2/s2) )
hd = h2-h1 = h2 - h2/k = h2*(1 - 1/k) = h2 * (1 - Wurzel( (1+r2/s2) / 2 )
In der Lösung von Megamath ist r2/s2 = sin(phi).
Falls nur h2 gegeben ist, berechnet sich s2 mit Pythagoras:
s2^2 = h2^2 + r2^2
Gemessen am Interesse des Fragers war das alles deutlich zu viel.
Gruß Dörrby |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4914
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. März, 2005 - 15:15: |
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Hi Dörrby
Es ist verdienstvoll,wenn Du die Aufgabe auch noch unter eiem weitern Aspekt angehst.
Davon profitieren sicher einige Leser,
mag der Aufgabensteller unterdessen auch seinen Frühjahresschlaf begonnen haben.
Das stört uns nicht weiter, und wir wollen ihn
nicht stören!
Herzlichen Dank für Deine Bemühungen!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Heimar77 (Heimar77)
Mitglied
Benutzername: Heimar77
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. März, 2005 - 18:18: |
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Hallo Leute,
natürlich bin ich noch immer an der Lösung der Aufgabe interessiert. Es ist nur so, dass Ihr schneller antwortet, als ich es erwartet habe.
Deshalb kommt mein Dank an alle die sich hier bemüht haben eine ausführliche Lösung zu posten auch erst jetzt.
Dass ich die mir bekannte Lösung nicht gleich gepostet habe, bitte ich zu entschuldigen. Dies war keine böse Absicht! Also, nochmals vielen Dank an alle für Ihre ausführlichen Lösungen!
Wünsche allen schöne Osterfeiertage!
(Beitrag nachträglich am 25., März. 2005 von heimar77 editiert)
viele gruesse
heimar77
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4923
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. März, 2005 - 18:26: |
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Hi heimar
Dasselbe wünschen wir Dir und
besten Dank für die Antwort!
MfG
H.R.Moser,megamath |
|
brrrr
