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Manull (Manull)
Neues Mitglied
Benutzername: Manull
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2005 - 14:14: | 
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Also, Montag werde ich an die Tafel geholt, und wenn cih es richtig mache, bekomme ich statt einer 5 eine 4 auf meinem Zeugnis, nur leider kann ich es allein nicht!!!
ICh brauche die Umkehrfunktion und die beideseitige Probe von:
f(x)=0,2^(x-2) +4
(x-2 ist also die Potenz, +4 einfach normal hinten ran!!!)
Nur leider krieg ich allein die U-Funktion schon nicht hin, sodass ich bis zu beidseitigen PRobe nicht durchkomme!
Bitte helft mir, dass ist echt wichtig für mich!
DANKE
Manull |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1280
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2005 - 15:08: |
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Zur Umkehrfunktion kommt man, wenn man die Variablen x, y vertauscht und die Funktionsgleichung dann wiederum nach y auflöst (explizit macht):
f(x): = y = 0,2^(x-2) + 4
x « » y
x = 0,2^(y-2) + 4
0,2^(y-2) = x - 4
logarithmieren (U-Fkt. der Exp. Funktion ist Logarithmusfkt.):
(y - 2)*ln(0,2) = ln|x - 4|
(y - 2) = (ln|x - 4|)/ln(0,2)
y = f^(-1)(x) = (ln|x - 4|)/ln(0,2) + 2
f^(-1) ist das Symbol für die Umkehrfunktion und nicht etwa deren Kehrwert.
Wir sehen, dass die Definitionsmenge D_u dieser Umkehrfunktion alle reellen Zahlen umfasst, die größer als 4 sind (der Logarithmus von Null ist nicht definiert und von negativen Zahlen ist er nicht reell).
D_u = {x | x > 4 und x E R}
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 08., Januar. 2005 von mythos2002 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1282
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2005 - 17:55: |
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Noch eine nähere Erklärung und die Probe.
Die Betragsstriche können entfallen, sie sind dann nicht notwendig, wenn man für x nur Zahlen nimmt, die größer als 4 sind.
...
(y - 2)*ln(0,2) = ln|x - 4|
...
Die Betragsstriche verhindern nur, dass im Logarithmus negative Zahlen auftreten, aber wenn man x > 4 voraussetzt, kann man (nur mit Klammern) schreiben
(y - 2)*ln(0,2) = ln(x - 4)
ln wäre der Logarithmus zur Basis e, aber man kann, wenn ihr das noch nicht kennt, natürlich auch den Logarithmus zu jeder anderen Basis, also auch 10, nehmen. Dann schreiben wir statt ln eben lg oder log.
Somit
(y - 2)*lg(0,2) = lg(x - 4)
..... und
f^(-1)(x) = lg(x - 4)/lg(0,2) + 2
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Das, was nun da oben steht, ist nun wirklich die Umkehrfunktion der gegebenen. Du kannst gleich die Probe für ein beliebiges Wertepaar (x|y) machen:
Originalfunktion: Sei x = 2, daraus y = 5, also f(2) = 5, Wertepaar (2|5)
[0,2^0 = 1]
Bei der Umkehrfunktion muss nun gelten
f^(-1)(5) = 2, also wenn man dort 5 einsetzt, muss 2 herauskommen:
f^(-1)(5) = (lg(5 - 4)/lg(0,2) + 2 = 0 + 2 = 2 »» Wertepaar (5|2)
[lg(1) = 0]
Nochmals für einen anderen Wert:
Originalfunktion: x = 4, daraus
y = 0,2^(2) + 4 = 0,04 + 4 = 4,04
f(4) = 4,04; Wertepaar (4 | 4,04)
Umkehrfunktion: Es muss sein
f^(-1)(4,04) = 4, also wenn man dort 4,04 einsetzt, muss 4 herauskommen:
f^(-1)(4,04) = (lg(4,04 - 4)/lg(0,2) + 2 =
= lg(0,04)/lg(0,2) + 2 = (-1,39794 / -0,69897) + 2 = 2 + 2 = 4
»» Wertepaar (4,04 | 4), also wie oben, nur vertauscht.
lg(0,04)/lg(0,2) kann man natürlich eleganter folgendermaßen berechnen:
lg(0,04)/lg(0,2) = lg[(0,2)^2]/lg(0,2) = 2*lg(0,2)/lg(0,2) = 2
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 08., Januar. 2005 von mythos2002 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1283
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Januar, 2005 - 09:57: |
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Bemerkung zur Probe:
"Punktweise" die Probe machen, ist nur eine Stichprobe und sagt noch nichts über die Allgemeinheit aus. Wenn wir dies allgemein überprüfen wollen, zeigen wir
1. f^-1(f(x)) = x und umgekehrt
2. f(f^-1(x)) = x
1.
f(x) = 0,2^(x - 2) + 4
f^(-1)(x) = lg(x - 4)/lg(0,2) + 2
jetzt in f(x) statt x die f^-1 einsetzen:
f(f^-1(x)) = 0,2^((lg(x - 4)/lg(0,2) + 2 - 2)) + 4 = x - 4 + 4 = x
Dazu muss man wissen, dass a^(lg(z)/lg(a)) = z ist. Warum dies so ist, sehen wir, wenn wir den Ausdruck logarithmieren:
lg (a^(lg(z)/lg(a))) = lg(z)/lg(a)*lg(a) = lg(z)
Wenn der Logarithmus des Ausdruckes lg(z) ist, lautet der Ausdruck selbst z.
Daher ist 0,2^((lg(x - 4)/lg(0,2) = x - 4
2.
f(x) = 0,2^(x - 2) + 4
f^(-1)(x) = lg(x - 4)/lg(0,2) + 2
jetzt in f^-1(x) statt x die f(x) einsetzen:
f^(-1)(f(x)) = (lg(0,2^(x - 2) + 4 - 4))/lg(0,2) + 2 = (x - 2)*lg(0,2)/lg(2) + 2 = x - 2 + 2 = x
Gr
mYthos |
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