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Shorly (Shorly)
Mitglied
Benutzername: Shorly
Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Mai, 2004 - 06:14: | 
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Hallo Leute: wir sollen folgendes beweisen:
1/1*2 + 1/2*3 + ... + 1/n(n+1) = 2n+1/n+1
also ich weiß schon mal, dass es so gar nicht stimmt, denn 1/n(n+1) ist nicht das selbe wie 2n/n+1 (wenn man eins einsetzt) aber wir sollen es ja erstaml falsch machen. Das klingt doof, gell? aber egal.
dann haben wir den Induktonsschritt gemacht:
wir haben 1/1*2 + 1/2*3 + ... +1/n(n+1) zu 2n+1/n+1 zusammen gefasst, und dann zu 1/(n+1)(n+2) addiert. (Hier schon die erste Frage: wie haben wir das den zusammen gefasst, dass 2n+1/n+1 rauskommt.
dann haben wir als nächsten Schritt: (2n+1)*(n+2)+1/(n+1)(n+2)
als nächstes: 2n²+5n+3/(n+1)(n+2)
und dannhaben wir mit (n+1) gekürzt also (2n+3)/n+2
dann haben wir "andererseits" aufgeschrieben:
A(n+1): Was muss rauskommen?
2(n+1)+1/(n+1)+1
= 2n+2+1/n+2 = 2n+3/n+3
dass das falsch ist, weiß ich ja, aber könnt ihrmir trotzdem bitte alle schritte mal gan genau erklären? also was man gemacht hat und wie man darauf gekommen ist??
mfg
shorly |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1122
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Mai, 2004 - 10:47: |
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Hi,
mittels des Induktionsanfangs (erster Schritt von zwei) muss die Richtigkeit der Formel für ein beliebig herausgegriffenes n bewiesen werden, z.B. für n = 1:
Linke Seite: 1/2
Rechte Seite: 3/2
Damit ist die Formel schon ungültig, und es ist müßig, bzw. reine Zeitverschwendung, den zweiten Schritt (Schluss von n auf n+1, d.h. Formel sei richtig für n, zeige die Richtigkeit für n+1) weiter in Angriff zu nehmen.
Besser wäre es, würde euch euer Lehrer die Abfolge des Induktionsbeweises zunächst an Hand einer gültigen Formel vor Augen führen, später kann man dann noch andere Formeln testen.
Gr
mYthos
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Shorly (Shorly)
Mitglied
Benutzername: Shorly
Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Mai, 2004 - 14:54: |
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Hi!
Ich weiß, dass es únlogisch ist, aber ich kann daran auch nichts ändern. Könntest du (oder auch andere) mir die Schritte trotzdem nochmal erklären, damit ich das wenigstens verstehe?? (wir können uns für den Anfang ja einfach mal vorstellen, die Formel würde stimmen :s)
ok bye
shorly |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 880
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Mai, 2004 - 18:21: |
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Wo steht denn, dass die Aussage für alle n gelten soll, Mythos? Sie könnte doch genau so gut nur für alle n>10.000 gültig sein.
Beispiel: Für alle n>100 gilt n²>10.000. Für n=1 ist diese Aussage falsch, was aber völlig irrelevant ist. Ab n=101 klappt der Induktionsschluss aber problemlos.
Worum es Shorlies Lehrer geht ist wohl die Erkenntnis, das manchmal der Induktionsschluss problemlos klappt, wohl aber die Verankerung fehlt.
Also:
Angenommen es gäbe ein n für das
Sn k=1 1/(k(k+1)) = (2n+1)/(n+1) gültig wäre, dann würde ebenfalls gelten
Sn+1 k=1 1/(k(k+1)) = Sn k=1 1/(k(k+1)) + 1/((n+1)(n+2))
= (2n+1)/(n+1) + 1/((n+1)(n+2))
= [(2n+1)(n+2)+1]/(n+1)(n+2)
= (2n²+5n+3)/(n+1)(n+2)
= 2(n+1)(n+3)/((n+1)(n+2))
= 2(n+3)/(n+2) = (2(n+1)+1)/(n+2)
Der Schluss klappt also problemlos, aber offen bleibt die Frage, ob es überhaupt ein n gibt, für das die Summe den Wert (2n+1)/(n+1) annnimmt.
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1125
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Mai, 2004 - 19:08: |
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Also, es ist schon anzunehmen, die Formel soll für ALLE n € IN gelten!
In der Behauptung sollte eigentlich auch immer deren Definitionsmenge mit angegeben sein (diese ist zumeist IN = Menge d. nat. Z.)!
Zum anderen hast du allerdings völlig Recht, das ist ganz klar! Danke!
(Beitrag nachträglich am 10., Mai. 2004 von mythos2002 editiert) |
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