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Kenga (Kenga)
Junior Mitglied
Benutzername: Kenga
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 18:55: | 
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Hallo Leute!
Ich hab ein paar Fragen zu den Parabeln:
1.) Was ist denn monoton? ich weiß jetzt nicht, ob das direkt zu den Parabeln gehört.
2.) Wir haben für die Umformung in die Scheitelform folgende Beispiele:
a) y = x²-8x+16
Damit habe ich kein Problem. da verwandelt man das einfach in die binomische Formel: (x-4)²
Daraus erhält man dann, das S(4/0)
b) y = x²-6x => y = x²-2*3x+3²-3² => (x-3)²-9
So: wie sind wir denn auf (x-3)²-9 gekommen?? und dann haben wir geschrieben, dass S(3/13) ist?? warum denn auf einmal wieder +3??
c) y = x²-6x-4 => x²-6x+3²-3²-4 => (x-3)²-13
So: wie sind wir jetzt auf (x-3)²-13 gekommen? und warum ist S(3/-13) und nicht S(-3/-13)??
d) S(-2/+7)
= y = (x-(-2))²+7 => y = (x+2)²+7 => y = x²+4x+4+7 => x²+4x+4+7 => x²+4x+11
Die Frage: Warum haben wir denn (x-(-2))²+7?? wir haben doch bei S(-2/7) eine -2 stehen??
so das wars erstmal. ich denk da werden bald noch viele Fragen dazukommen!!
mfg
Kenga |
Fluffy (Fluffy)
Moderator
Benutzername: Fluffy
Nummer des Beitrags: 273
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 19:36: |
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schau Dir mal diese Seite an, dann verstehst Du warum sich das Vorzeichen der x-Koordinate des Scheitelpunktes ändert.
http://www.zum.de/dwu/depot/mqf102f.gif |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 631
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 19:48: |
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Hi Kenga!
1) Monotonie gibt es in zwei Ausgaben: monotone Steigung und monotones Fallen. Eine Funktion ist monoton steigend, wenn (anschaulich gesprochen) ihr Graph in einem Intervall oder evtl. sogar über dem ganzen Definitionsbereich (von links nach rechts betrachtet) nicht abfällt, sondern konstant ist oder sogar ansteigt. Monoton fallend ist sie, wenn der Graph nicht steigt, sondern konstant ist oder sogar fällt.
Strenger mathematisch ausgedrückt, sieht das so aus:
Eine Funktion f ist monoton steigend auf einem Intervall I ihres Definitionsbereichs genau dann, wenn für alle x1 und x2 aus I mit x1<x2 gilt: f(x1)£f(x2).
Für "monoton fallend" heißt der letzte Teil:
..., wenn für alle x1 und x2 aus I mit x1<x2 gilt: f(x1)³f(x2).
Beachte, dass sich nur das 2.Zeichen gedreht hat. Das 1. Zeichen stellt nur sicher, dass man die Funktion "von links nach rechts" liest.
Viele Grüße
Jair |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 632
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 20:12: |
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Zwar hat Fluffy schon zu deinen Fragen bzgl. der Scheitelpunktform eine Webseite angegeben, aber ich denke, bei so konkreten Fragen kann man auch hier ruhig noch ein paar Informationen geben.
quote:b) y = x²-6x => y = x²-2*3x+3²-3² => (x-3)²-9
So: wie sind wir denn auf (x-3)²-9 gekommen?? und dann haben wir geschrieben, dass S(3/13) ist?? warum denn auf einmal wieder +3??
Das Verfahren heißt quadratische Ergänzung. Man übernimmt den ersten quadratischen Term (hier x²) und den gemischten Term (hier -6x) und ergänzt das Ganze zu einer Seite einer binomischen Formel.
In diesem Fall beginnt der Term ja mit
x²-6x
In Frage käme wegen der Vorzeichen also die 2.binomische Formel
a²-2ab+b² = (a-b)²
Das a ist offensichtlich das x (1. Summand).
Auch im 2. Summanden ist a wieder x. Dann bleibt für -2b nur der restliche Ausdruck -6 übrig. Wenn -2b=-6 ist, muss offenbar b=3 sein.
Vom Vorzeichen mal abgesehen, wird also der Koeffizient von x im gemischten Term einfach halbiert, um das b zu erhalten.
Nun geht die binomische Formel mit +b² weiter. Da b=3 ist, bedeutet das für uns, dass wir den Term mit +3² bzw. +9 ergänzen.
Allerdings darf man ja nicht so einfach einen gegebenen Term durch Hinzufügen oder Weglassen eines Ausdrucks verändern. Deshalb subtrahieren wir die eben (sozusagen illegal) hinzugefügten +9 sofort wieder. So erhalten wir also den Ausdruck
y=x²-6x+9-9
Etwas hinzuzufügen und sofort wieder abzuziehen, wäre ja normalerweise sinnlos. Hier können wir aber für die ersten drei Summanden die bereits erwähnte binomische Formel benutzen. Es ergibt sich
y=(x-3)²-9
Da das Vorzeichen vor der Klammer + ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Beim Scheitelpunkt handelt es sich also um den tiefsten Punkt der Parabel. Da (x-3)² ja Null oder positiv ist (wegen des Quadrats), wird zu -9 nichts Negatives addiert. Das heißt: den kleinsten Wert erhalte ich, wenn ich zu -9 genau 0 addiere. Das ist offenbar dann der Fall, wenn x=3 ist. Der Scheitelpunkt hat also den x-Wert 3. Allgemein ist der x-Wert des Scheitelpunkts immer die 2.Zahl in der Klammer, aber mit umgekehrten Vorzeichen. Ist die Klammer also (x-a)², so ist der x-Wert a. Ist die Klammer (x+a)², so ist der x-Wert -a.
Der y-Wert ist einfach zu berechnen. Wenn die Klammer 0 ist, bleibt der Term hinter der Klammer übrig, in unserem Fall also ist der y-Wert einfach -9.
Allgemein: wenn die Scheitelpunktsform
y=(x-a)²+b heißt, dann ist der x-Wert des Scheitelpunktes +a, der y-Wert +b.
Sieht die Gleichung so aus:
y=(x+a)²-b, so ist der x-Wert -a, der y-Wert -b.
Ich denke, die übrigen Fälle kannst du dir jetzt selbst erarbeiten.
quote:c) y = x²-6x-4 => x²-6x+3²-3²-4 => (x-3)²-13
So: wie sind wir jetzt auf (x-3)²-13 gekommen? und warum ist S(3/-13) und nicht S(-3/-13)??
Ich denke, nach meinen Ausführungen zu b) ist dir das jetzt sicher klar:
y=(x-a)²-b, der x-Wert ist +a, der y-Wert -b.
quote:d) S(-2/+7)
= y = (x-(-2))²+7 => y = (x+2)²+7 => y = x²+4x+4+7 => x²+4x+4+7 => x²+4x+11
Die Frage: Warum haben wir denn (x-(-2))²+7?? wir haben doch bei S(-2/7) eine -2 stehen??
Du kennst ja jetzt die Scheitelpunktsform
y=(x-a)²+b.
Setz für a den x-Wert des Scheitelpunkts ein (-2), für b den y-Wert (+7)
y=(x-(-2))²+7
Alles klar?
Viele Grüße
Jair |
Kenga (Kenga)
Junior Mitglied
Benutzername: Kenga
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 20:54: |
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Danke für deine so ausführliche antwort jair!! und danke für die website!! Auf der ist das gut erklärt und ich kapier das jetzt auch. ich glaube der rest meiner fragen hat sich erledigt, zumindest für heute!!
mfg Kenga |
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