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Witting (Witting)
Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 14:14: | 
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Hi an Alle!
Hab ein riesen Problem! Hier die Aufgabe. Brauch sie spaetestens bis Sonntag Abend:
Gerader Kreiskegelstumpf
Grundflaechendurchmesser= 33,4 cm
Deckflaechendurchmesser= 18,2 cm
Hoehe= 15,2 cm
Der Koerper soll durch einen Schnitt parallel zur Grundflaeche in 2 volumengleiche Teile aufgeteilt werden. Welcher der beiden Koerper hat die groessere Manteloberflaeche? Und wie gross sind die Hoehen der beiden Koerper?
Dafuer brauch ich dann den Loesungsweg!!
Vielen Dank im Voraus,
Alex |
Georg (Georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Georg
Nummer des Beitrags: 308
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Februar, 2004 - 11:01: |
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Ich ergänze gedanklich zu einem Kegel und gebe den kleinen Kegel die Nummer 1, dem Kegel zur gesuchten Schnittebene die Nummer 2 und dem gesamten Kegel die Nummer 3 .
Dann gilt ( mit dem Strahlensatz ) für die Durchmesser und Höhen
d1 / h1 = d2 / h2 = d3 / h3 ( 2 Gleichungen )
Für die Volumen soll gelten
V3 - V2 = V2 - V1 ==> V3 + V1 = 2*V2
Mit der Kegelvolumen-Formel also
/12*d3²*h3 + /12*d1²*h1 = 2*/12*d2²*h2 ==>
d3²*h3 + d1²*h1 = 2*d2²*h2 ( 1 weitere Gleichung )
Die Kegelstumpfhöhe h ist gegeben :
h = h3 - h1 ( 4. Gleichung )
h1, h2, h3 und d2 sind vier Unbekannte. Du hast vier Gleichungen.
Reicht dir das vielleicht schon ?
www.georgsimon.de
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Witting (Witting)
Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Februar, 2004 - 17:30: |
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Wenn ich die vier Gleichungen in ein lineares Gleichungssystem zusammenfasse dann wuerde dass so aussehen:
d1/h1=d2/h2
d2/h2=d3/h3
d3^2*h3+d1^2*h1=2*d2^2*h2
h=h3-h1
d2h1=d1h2
d2h3=d3h2
d3^2h3+d1^2h1=2*d2^2h2
d2h1-d1h2=0
d2h3-d3h2=0
d3^2h3+d1^2h1-2*d2^2h2=0
h3=h1+h
=> d2h1-d1h2=0
d2(h1=h)-d3h2=0
d3^2(h1+h)+d1^2h1-2*d2^2h2=0
=> d2h1-d1h2+0
d2h1+d2h-d3h2=0
d3^2h1+d3^2h+d1^2h1-2*d2^2h2=0
Wenn ich dass durch Addition bzw. Subtraktion vereinfache, dann erhalte ich:
d1d3h1h2+d2d3hh1+d3^2hh2+d1^2h1h2-2*d2^2h2^2=0
Einsetzen ergicbt:
h=15,2
d1=18,2
d3=33,4
=> 607,88h1h2=507,68d2h1+ 16956,512h2+331,24h1h2-2d2^2h2^2=0
Wie loese ich die Gleichung fuer h1 und h2 auf?
Vielen Dank im Voraus |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 960
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Februar, 2004 - 22:39: |
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Hi!
Die herkömmlichen Rechnungen mit vielen Unbekannten führen hier leider nicht zum Ziel!
Das kann man vergessen!
Der gegeben Kegelstumpf habe die Radien R, r und die Höhe h. Der durch den parallelen Schnitt entstehende (untere) Kegelstumpf die Radien R, r1 und die Höhe h1.
Dann gilt lt. Strahlensatz:
(R - r) : h = (R - r1) : h1
->
h/h1 = (R - r)/(R - r1)
Die Volumina sind:
V = pi*(R² + Rr + r²)*h/3
V/2 = pi*(R² + Rr1 + r1²)*h1/3
--------------------------------
diese setzen wir ins Verhältnis, d.h.
Gleichungesn seitenweise dividieren
2 = [(R² + Rr + r²)*h]/[(R² + Rr1 + r1²)*h1]
für h/h1 nun (R - r)/(R - r1) einsetzen!
->
[(R² + Rr + r²)*(R - r)]/[(R² + Rr1 + r1²)*(R - r1)]
->
2 = (R³ - r³)/(R³ - r1³)
2R³ - 2r1³ = R³ - r³
R³ + r³ = 2r1³
r1 = cbrt((R³ + r³)/2) .. cbrt = Kubikwurzel
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Daraus folgt h1 mittels
h1 = h*(R - r1)/(R - r)
Man muss nur noch die gegebenen Zahlenwerte einsetzen!
Bemerkung: Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes berechnet sich aus
M = pi*s*(R + r), wobei s die Seitenlinie ist;
für s gilt:
s = sqrt((R - r)² + h²)
Gr
mYthos
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Witting (Witting)
Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Februar, 2004 - 04:17: |
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Vielen Dank an euch alle! |
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