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Klausrudolf (Klausrudolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Klausrudolf
Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 10:09: | 
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Hallo Zahlentheoretiker,
irgendwie habe ich momentan ein Brett vor dem Kopf und schaffe es nicht, die Äqivalenz der beiden Primzahldefinitionen ("volkstümlich/wissenschaftlich") zu zeigen :
volkstümlich : Eine Zahl p ist eine Primzahl g.d.w. sie nur 1 oder sich selbst als Teiler hat
wissenschaftlich : Eine Zahl p ist eine Primzahl g.d.w. p teilt a*b ==> p teilt a oder b
(Wenn p das Produkt zweier Zahlen teilt, teilt p mindestens einen Faktor des Produktes )
Die zweite Def. habe ich bei einem Beweis der Irrationalität der Wurzel aus zwei gefunden.
Wer hat eine Idee ?
Gruß
Klaus-Rudolf |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1996
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 10:17: |
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"g.d.w." ???
Das 2te ist aber kein Primzahlkrieterium
6 teilt (6*n)*m ist aber nicht prim
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 667
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 10:54: |
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allgemein gilt:
die Anzahl aller Teiler einer nat. Zahl ist
- 2 für Primzahlen
- ungerade für Quadratzahlen
- gerade für alle anderen
36 hat als Teiler 1, 2, 3, 6, 12, 18, 36
f. p^2 aus IN und p nicht aus IN folgt nicht, daß p^2 prim ist!
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Markush (Markush)
Neues Mitglied
Benutzername: Markush
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 12:46: |
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Das zweite muss für alle a, b erfüllt sein; darum ist es doch eine Definition, wie gleich zu sehen ist.
Beweis der Äquivalenz durch Widerspruchsbeweis:
Nichttrivialerweise p > 1.
Ann.: p nicht prim gemäß (1), d.h. es ex. 1 < q1, q2 < p mit p = q1 . q2.
Setze dann a, b aus (2) als q1, q2 und es gilt: p teilt q1.q2 und p teilt nicht q1 und p teilt nicht q2.
Das wäre mal -(1) => -(2).
Ann.: -(2), d.h. es ex. a, b mit p teilt a.b aber p teilt nicht a und p teilt nicht b.
seien s1,..,sn bzw. t1,..,tm die Primfaktoren von a bzw. b.
p teilt a.b => p = Produkt von Elementen aus s1 .. sn, t1 .. tm
p teilt nicht a: Es müssen in obigem Produkt Elemente aus t1 .. tm dabei sein (die nebenbei nicht in s1 .. sm liegen)
p teilt nicht b: analog
also: es gibt Indizes i, j mit si, tj sind Teiler von p bzw p = irgendwas . si . tj
Damit gilt -(1).
So ungefähr stellt sich das zumindest der kleine Mann von der Straße vor.
Markus
PS: Die Seite ist ja zum Speiben kommerzig! |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1536
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 20:15: |
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Hallo Klausrudolf,
beide Definitionen kommen in der Mathematik vor.
In den ganzen Zahlen definieren sie dieselbe Eigenschaft, nämlich unzerlegbar bzw. prim zu sein.
Es gibt aber kompliziertere, allgemeinere Gebilde in der Mathematik, so genannte Ringe, wo die beiden Definitionen unterschiedlich sein können. Man spricht dann von "unzerlegbar" (wenn Def. 1 erfüllt ist) bzw. "prim" (wenn Def. 2 erfüllt ist).
Jedes Primelement ist unzerlegbar, aber nicht notwendigerweise umgekehrt. |
Klausrudolf (Klausrudolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Klausrudolf
Nummer des Beitrags: 63
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 13:35: |
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Hallo miteinander,
der "kleine Mann auf der Strasse" bedankt sich ganz herzlich für den tatkräftigen Einsatz des Fuchsschwanzes von Markush mit dem das Brett einfach zersägt wurde -muss aber nörgelig (etwas Mathe kann ich vielleicht auch noch) anmerken, dasss Markush keinen Widerspruchbeweis (Beweis der Unmöglichkeit des Gegenteils) erbracht hat, sondern das Gegenteil direkt bewiesen hat, formal :
( A <==> B ) <==> ( ^A <==> ^B )
Zu Zaphs Anmerkung : Ich erinnere mich "dunkel", dass die ganzen Zahlen bzgl. Addition und Multiplikation einen Ring bilden, die rationalen (und erst recht die reellen Zahlen) dagegen sogar einen Körper (Existenz eines inversen Elementes). Algebraisch besteht also zwischen (ir)rationalen und transzendenten Zahlen kein Unterschied ? ( Das für die Analysis dazwischen Welten liegen,steht ja auf einem anderen Blatt)
Gibt es denn ein "allgemeinverständliches" Bsp. für ein unzerlegbares, nicht primes
(Ring)element ?
Gruß
Klaus-Rudolf |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1539
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 17:15: |
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Hallo Klaus-Rudolf,
betrachte folgenden Ring (Teilmenge der komplexen Zahlen):
R = {a + bÖ-3 | a,b e Z}
Mit der üblichen Addition und Multiplikation.
In R ist 2 zwar unzerlegbar aber kein Primelement.
Dass 2 kein Primelement ist, folgt, da 2 kein Teiler von (1 + Ö-3) ist und
2*2 = (1 + Ö-3)*(1 - Ö-3)
gilt.
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1540
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 17:20: |
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Und:
Zwischen den rationalen Zahlen und den transzendenten Zahlen besteht ein erheblicher Unterschied.
Transzendente Zahlen = IR \ Menge der algebraischen Zahlen
Oder meinst du "zwischen den rationalen Zahlen und den reellen Zahlen besteht kein algebraischer Unterschied"?
Auch das ist falsch! In IR ist z. B. die Gleichung x² = 2 lösbar, in Q nicht. |
Klausrudolf (Klausrudolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Klausrudolf
Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Februar, 2004 - 10:16: |
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Hallo Zaph,
ich dachte eigentlich, dass rationale und reelle Zahlen algebraisch gleich sind. "Algebraisch" habe ich ganz formal als Körper (oder allgemeiner : Strukur ) über einer Menge M mit zwei Operationen + und * aufgefasst. Natürlich kenne ich die Definition der transzendenten Zahlen, aber ich hielt dies für eine Definition der Analysis
Gruß |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1543
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Februar, 2004 - 12:08: |
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Ne, ne ...
die moderne Algebra, oder zumindest große Teile davon, ist durch das Auffinden von Lösungen von Polynomgleichungen entstanden.
IR ist eine so genannte Körpererweiterung von Q. Da IR auch Zahlen enthält, die nicht Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten sind, handelt es sich um eine transzendente Erweiterung. Und diese Elemente werden transzendent genannt. Z. B. sind Pi und e transzendent.
Zwei Körper können nur dann als "gleich" betrachtet werden, wenn sie isomorph zueeinander sind, d. h. wenn es eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Körpern gibt, die strukturerhalten ist.
Z. B. kannst du zu Q das Element e hinzutun und den kleinsten Körper betrachten, der Q und e enthält. Dieser wird mit Q(e) bezeichnet. Das gleiche kannst du mit Pi machen und so Q(Pi) erhalten. Dann sind Q(e) und Q(Pi) isomorph.
Noch etwas: Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom mit Koeffizienten aus C eine Nullstelle in C besitzt. Das ist eben NICHT der "Fundamentalsatz der Analysis", obwohl ich keinen Beweis kenne, der nicht auch analytische Mittel verwendet.
Gruß
Z.
(Beitrag nachträglich am 15., Februar. 2004 von zaph editiert) |
Klausrudolf (Klausrudolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Klausrudolf
Nummer des Beitrags: 65
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| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Februar, 2004 - 15:11: |
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Hallo Zaph,
langsam fängt es an Spass zu machen : Demnach wären doch z.B. Q(sqrt(2)) und Q(sqrt(3)) isomorphe Körper (mit deiner Nomenklatur), nur das die Erweiterungen "leider" nicht transzendent sind.
Wie sieht es übrigens mit der Abgeschlossenheit deines "komplexen" Ringes bzgl. Multiplikation aus ?
(a + b*sqrt(-3)) * (c + d*sqrt(-3)) =
a*c + b*c*sqrt(-3) + a*d*sqrt(-3) + b*d*(-3)
also nicht ohne weiteres von der Form x + y*sqrt(-3)mit x,y aus Z,es sei denn Du verlangst nur noch die Form a + b*(-3)**c mit c aus Q |
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1546
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| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Februar, 2004 - 17:25: |
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Hallo mal wieder!
Q(Ö2) und Q(Ö3) sind nicht isomorph. Im ersten Körper ist x² - 2 = 0 lösbar und in dem anderen nicht.
Außerdem
(a + bÖ-3) * (c + dÖ-3)
= (ac - 3bd) + (ad + bc)Ö-3
= x + yÖ-3
mit
x = ac - 3bd
y = ad + bc
Aber freut mich, dass es dir Spaß macht ;-)
Gruß
Z. |
Klausrudolf (Klausrudolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Klausrudolf
Nummer des Beitrags: 66
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Februar, 2004 - 17:51: |
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Hallo Zaph,
bei dem "Raketentempo"! in diesem Board bin ich nicht mehr dazu gekommen, mich zu korrigieren - heute morgen ist auch mir siedend heiss eingefallen, dass ich mit meiner Vermutung über Abgeschlossenheit völlig daneben lag.
Also reden wir lieber über (hoffentlich) "nichtriviale" Dinge :
Zwei Körper können nur dann als "gleich" betrachtet werden, wenn sie isomorph zueinander sind, d. h. wenn es eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Körpern gibt, die strukturerhaltend ist.
So weit dein Zitat. Zwischen Q(sqrt(2)) und Q(sqrt(3)) gibt es doch sicherlich eine bijektive Abb. etwa ( Q <--> Q und sqrt(2) <--> sqrt(3)
Aber was heisst "strukturerhaltend"?
Klar, x*x - 2 = 0 ist nur im ersten Körper lösbar, aber weder in Q(e) noch in Q(pi) gibt es irgendeine (algebraische = rationale Koeffizienten) Gleichung, deren Lösung pi und/oder e ist. Worin besteht also die gleiche (erhaltene) Struktur ? Offenbar nicht in der Eigenschaft "Lösbarkeit einer Gleichung", sondern in ...?
Idee : Im Gegenteil ! In der Eigenschaft (genau) ein transzendentes Element zu enthalten, also dass jeder Körper eine "nichtexistente" Gleichung, oder "nichtdarstellbares" Element enthält - zweifelsohne eine Gemeinsamkeit.
Mache ich es mir jetzt zu einfach ?
Dann wäre natürlich die nächste Frage, was ist eine nicht transzendente Erweiterung von Q ?
Gruß
Klaus-Rudolf |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1547
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Februar, 2004 - 19:41: |
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Hallo Klaus-Rudolf,
hier ein kleiner Algebra-Kurs.
Es ist
Q(Ö2) = {a + bÖ2 | a,b e Q}
Denn
1. diese Menge enthält sicherlich ganz Q und Ö2,
2. müssen alle Elemente a + bÖ2 in einem Körper enthalten sein, der Q und Ö2 enthält,
3. ist {a + bÖ2 | a,b e Q} ein Körper.
(Alle Punkte müssen wohlüberlegt werden!)
Also ist {a + bÖ2 | a,b e Q} der KLEINSTE Körper, der Q und Ö2 enthält. Und somit Q(Ö2) = {a + bÖ2 | a,b e Q}.
Es gilt sogar: zu jedem x e Q(Ö2) gibt es eindeutig bestimmte a,b e Q mit x = a + bÖ2.
Analog gilt
Q(Ö3) = {a + bÖ3 | a,b e Q}.
Beachte aber, dass {a + b*Pi | a,b e Q} kein Körper ist! (Z. B. fehlt die Abgeschlossenheit der Multiplikation.)
Eine Abbildung f: K -> L zwischen zwei Körpern heißt "strukturerhaltend" oder "homomorph", wenn
1. f(x + y) = f(x) + f(y)
2. f(x * y) = f(x) * f(y)
Eine homomorphe, bijektive Abbildung heißt "Isomorphismus", und K und L heißen dann "isomorph".
Nun könnte man
f: Q(Ö2) -> Q(Ö3)
definieren durch
f(a + bÖ2) = a + bÖ3
f ist in der Tat eine bijektive Abbildung, aber nicht homomorph.
Denn, ansonsten wäre
2
= f(2)
= f(Ö2 * Ö2)
= f(Ö2) * f(Ö2)
= Ö3 * Ö3
= 3.
Auch andere Versuche, einen Isomorphismus zu finden, scheitern. Es gibt keinen!
Die Körper Q(Ö2) und Q(Ö3) heißen "algebraische Erweiterungen" von Q, da sie durch hinzufügen eines "algebraischen Elements" (= Lösung einer Polynomgleichung mit Koefizienten aus Q) aus Q entstehen. Im Gegensatz zu einer transzendenten Erweiterung.
Das war jetzt ne ganze Menge, aber frag ruhig nach, wenn was unklar ist.
Z.
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Klausrudolf (Klausrudolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Klausrudolf
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Februar, 2004 - 20:48: |
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Hallo Zaph,
keine Chance, zu langsam !! homomorph war das "Zauberwort", hätte ich eigentlich selbst drauf kommen müssen.
Die letzte Frage sollte eigentlich lauten : Nenne mir ein Beispiel für zwei nicht transzendente, isomorphe Körpererweiterungen von Q !
Ad hoc würde ich sagen,das "Totschlagargument" mit der "nächstgrösseren" (irrationalen) algebraischen Zahl zieht immer. Statt sqrt(2) nehme ich eben eine bel. andere algebraische Zahl A - was ändert sich dann ?
Noch etwas zum Verständnis : Q(sqrt(2) ist definiert als Menge M mit M := Q u {sqrt(2)} und Du hast hergeleitet, dss M = {a + b*sqrt(2)| a,b e Q} ist, korrekt ?. |
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1548
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Februar, 2004 - 19:55: |
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Hallo Hans-Rudolf,
Q(Ö2) ist NICHT Q u {Ö2}, sondern der kleinste Körper, der Q u {Ö2} enthält. Wie Q(Ö2) aussieht: siehe oben.
Dein "Totschlagargument" funktioniert nicht, wie ich dir schon bei Q(Ö2) und Q(Ö3) gezeigt habe.
Beispiel für zwei nicht transzendente, isomorphe Körpererweiterungen von Q:
Die Gleichung x³ - 2 = 0 hat in den komplexen Zahlen drei Lösungen. Eine davon ist reell, nämlich x1 := 3Ö2. Dann gibt es zwei weitere Lösungen x2 und x3, die konjugiert komplex sind.
Die Körper Q(x1), Q(x2) und Q(x3) sind paarweise isomorph aber nicht gleich.
Hier gilt übrigens für x = x1, x2, x3:
Q(x) = {a + bx + cx² | a,b,c e Q} |
Klausrudolf (Klausrudolf)
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Benutzername: Klausrudolf
Nummer des Beitrags: 68
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Februar, 2004 - 13:43: |
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Hallo Zaph,
höchste Zeit für die Fortsetzung unserer Algebra-Vorlesung !!
Jetzt sind erstmal wieder praktische Übungen (vulgo: verständnislose Rückfragen von mir) angesagt.
Dein Beispiel war gemein !! War doch klar, dass ich algebraische Erweiterungen im Kopf hatte. Aber formal natürlich völlig korrekt : Er hat nach "nicht transzendent" gefragt und konjungiert komplex erfüllt diese Bedingung - Punktum!
Zu deiner "Beweiskette" :
2
= f(2)
= f(Ö2 * Ö2)
= f(Ö2) * f(Ö2)
= Ö3 * Ö3
= 3.
Die "funktioniert" m. E. auf jeden Fall für alle Primzahlen p, q die man statt 2 und 3 einsetzt (also sqrt (p) bzw. sqrt(q)). Wie es mit allgemeineren (irrationalen, algebraischen) Zahlen aussieht, die nicht "nur" einfache Wurzeln sind, überblicke ich z.Zt. nicht.
D.h., kann es zwei algebraische, isomorphe Körpererweiterungen von Q geben ?
Zum begrifflichen :
Q(Ö2) ist NICHT Q u {Ö2 , sondern der kleinste Körper, der Q u {Ö2 enthält. Wie Q(Ö2) aussieht: siehe oben. }Nach dreimaligen lesen habe ich es glaube ich verstanden - die Betonung liegt nicht auf klein, sondern auf Körper. Ich betrachte rein formal die Menge M = Q u {sqrt(2)}. Damit diese bzgl. Add. und Multpl. ein Körper wird, müss ich eine neue Menge M' (von der M eine Teilmenge ist) bilden, deren Elemente die Form a + b * sqrt(2) haben, richtig? Dann wäre noch zu klären, wieso es der kleinste Körper ist.
Gruß
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1550
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Februar, 2004 - 16:54: |
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Hallo K-R,
Die "funktioniert" m. E. auf jeden Fall für alle Primzahlen p, q die man statt 2 und 3 einsetzt (also sqrt (p) bzw. sqrt(q)).
Exakt! Körper Q(Öp) sind für unterschiedliche p niemals isomorph.
Dann wäre noch zu klären, wieso es der kleinste Körper ist.
Siehe mein Posting vom 17. Februar, 2004 - 20:41:}
Es ist Q(Ö2) = {a + bÖ2 | a,b e Q}
Denn ...
Wie es mit allgemeineren (irrationalen, algebraischen) Zahlen aussieht, die nicht "nur" einfache Wurzeln sind, überblicke ich z.Zt. nicht. D.h., kann es zwei algebraische, isomorphe Körpererweiterungen von Q geben ?
Ja, siehe mein Posting vom 18. Februar, 2004 - 20:55: Die Körper Q(x1), Q(x2) und Q(x3) sind paarweise isomorph aber nicht gleich.
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