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Bilbo8 (Bilbo8)
Neues Mitglied
Benutzername: Bilbo8
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 20:36: | 
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Hallo!
Ich soll beweisen,dass,wenn die gegenüberliegenden Winkel in einem Viereck gleich groß sind,es sich um ein Parallelogramm handelt.Nur mithilfe der Kongruenzsätze!
Könnt ihr mir weiterhelfen? Ich hab schon alles probiert.
Schon mal danke im Voraus!
Bilbo
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 647
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 21:08: |
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zeichne ein parallelogramm und zeichne dabei auch die diagonalen ein;
dann zeichnest du eine höhe ein, welche durch den schnittpunkt der beiden diagonalen ein
damit solltest schon etwas mehr sehen
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Bilbo8 (Bilbo8)
Neues Mitglied
Benutzername: Bilbo8
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 23:12: |
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Irgendwie kann ich da keinen Zusammenhang erkennen ;(...kannst du noch einen Tipp geben?
Bilbo |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 648
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 06:03: |
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schau dir vom Punkt M ausgesehen mal die Winkel an,
und schaue Dir mal die 3ecke AEM und CFM an;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Bilbo8 (Bilbo8)
Neues Mitglied
Benutzername: Bilbo8
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 15:22: |
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Wahrscheinlich meinst du,dass man die Kongruenz der Dreiecke beweisen soll,allerdings braucht man dafür drei Teile,wir haben aber nur zwei Teile,den rechten Winkel und den Scheitelwinkel an M,die Höhen und die Grundseiten und die Diagonalen "kennen" wir nicht,also wir können nicht beweisen,dass sie gleich lang sind.Und anzunehmen,die Winkel EAM und BCF seien gleich groß,ist auch nicht erlaubt.
Wie soll man es dann machen ? |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 649
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 17:17: |
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Wobei ich hab mir Deine Aufgabenstellung gerade eben nochmal durchgelesen; die ist an sich nicht ganz richtig, sieh Dir mal das da  etwas genauer an;
beim Punkt A und beim Punkt C sind die Winkel zwar gleich groß, aber parallel ist keine Seite, daher auch kein Parallelogramm!
die von Dir genannten Winkel sind genau dann gleich groß, wenn eben die Seiten parallel sind, warum; der Winkel bei M ist auf jeden fall gleich groß -> gleiche Winkelschenkel; der rechte Winkel ist auch bei beiden; daher bleibt bei parallelität nichts anderes übrig, daß auch die Winkel gleich groß sind;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 517
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 17:48: |
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Hi Bilbo und Mainzi Man!
Ich glaube, an der Aufgabe ist doch noch ein bisschen mehr dran. Gemeint ist doch sicher der Satz: "Sind in einem Viereck alle gegenüberliegenden Winkel gleich groß, so ist das Viereck ein Parallelogramm."
Bilbo hat ganz Recht, wenn er sagt, dass man dann nicht die Seitenlängen des Vierecks benutzen kann. Nicht einmal die beiden von Mainzi Man gezeichneten Höhen müssen notwendigerweise auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
Ein Beweis des Satzes mit Hilfe der Kongruenzsätze ist mir auch nicht eingefallen. Aber ich denke, dieser hier tut's auch.
Zeigen wir zunächst einmal:
Sind in einem Viereck alle gegenüberliegenden Winkel gleich groß, so ergänzen sich benachbarte Winkel zu 180°.
Bezeichnen wir die Winkel mit a, b, g und d und sind a und g bzw. b und d gegenüberliegend, dann gilt:
a+b+g+d=360°
a+b+a+b=360°
2*(a+b)=360°
a+b=180°
Für den eigentlichen Beweis seht euch nun bitte die Bezeichnungen der Skizze an:
Es gilt a+b=180° (wie im Hilfssatz)
b=d+e
Also: a+d+e=180°
e=180°-a-d
Wegen der Winkelsumme im Dreieck CAB gilt aber auch:
g+a+d=180°
g=180°-a-d=e
Die beiden Wechselwinkel g und e sind also gleich groß, liegen damit an Parallelen. Die beiden Seiten AC und BD sind daher parallel.
Entsprechend zeigt man, dass auch AB und CD parallel sind.
Damit ist ABDC ein Parallelogramm.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Bilbo8 (Bilbo8)
Neues Mitglied
Benutzername: Bilbo8
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 18:48: |
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Vielen Dank !!! 
Da steckt aber auch der Beweis über die Kongruenzsätze drin:
Die beiden Dreiecke ABC und CDB stimmen in drei Größen überein: dem Winkel gamma bzw. epsilon,der Diagonalen und dem Winkel delta bzw. DCB.
Nach dem Kongruenzsatz WSW sind dann die gegenüberliegenden Seiten gleich lang,woraus folgt,dass es sich um ein Parallelogramm handelt.
Gruß
Bilbo |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 651
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 19:14: |
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kleines Verwirrspiel, man nennts ja wegen den parellelen Seiten Parallelogramm und nit wegen den paarweise gleich großen Winkeln;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1981
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Februar, 2004 - 10:04: |
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Die Aufgabe hat auch mich gereizt, und die
die viele investierte Arbeit will ich nicht
einfach unter den Tisch fallen lassen.
Ich gehe absichtlich von einem beliebigem
"4eck" aus und komme rechnerisch aus der Forderung
gleicher Gegenwinkel zu einem überraschendem
Schluß
Da aber alpha bei beliebig gegebenen Seiten
eines möglichen 4ecks variert werden kann,
d-b aber konstant ist, ist die Gleichung
nur erfüllbar wenn d-b = a-c = 0 gilt,
also die Gegenseiten gleich sind - die äquivalente
Bedingung für ein Parallelogramm.
(Beitrag nachträglich am 06., Februar. 2004 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 652
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Februar, 2004 - 10:23: |
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Der Beweis is genial
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
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